Question

高等数学第六版P270第14题目关于积分第一中值定理的证明，为什么要那么麻烦？

这样为什么不对？（在这为了方便，积分区间区间a，b就省略不打了）
把f(x)g(x)都看做被积函数，整体应用中值定理，得
∫ f(x)g(x)dx = f(ε)g(ε)*(b-a)
又有 ∫ g（x）dx=g(ε)*(b-a)
代入上式就可以了，得 ∫ f(x)g(x)dx= f(ε)*∫ g（x）dx，哪里出错了？？？？？

Answer 1

因为这两个ε不是同一个。
严格来说应该是这样的∫ f(x)g(x)dx = f(ε1)g(ε1)*(b-a)
∫ g（x）dx=g(ε2)*(b-a)
因此不能直接代入。

追问

你好，谢谢。令F（x）=f(x)*g(x)啊，这是整个函数啊，即F(ε).....

追答

没错，所以第一个ε是对于F来说的。
在∫ g（x）dx=g(ε)*(b-a)此式中，ε是对于函数g而言的。与F的那个ε是不同的。

追问

那这么说就是因为这个原因所以才要用最大值和最小值定理来证明吗？这个我真的很费解.....

追答

是的，必须要严格考虑的。由其是这种存一个ε的，因为符号是相同的。因此很容易出错。一般来说学习数学分析的话就会理解了，但是只是高数的话是有点难理解。

追问

好的，谢谢你，关于微分积分方面的不等式的证明我都感觉很困难，有的时候根本就想不到这些需要注意的地方，一点都不严谨/////怎么才提高啊？

Answer 2

晕哦……两函数相乘的积分能拆开积，再合并吗？？只有相加，相减才能拆开的！