Question

是否存在实数a,使函数f(x)=x^2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在 求a的值，若不存在说明理由

Answer 1

∵f(x)=x^2-2ax+a=（x-a)²-a²+a
∴当x∈R时，f(x)有最小值-a²+a
∵当x∈[-1,1]时，f(x)有最小值-2
∴-a²+a≤-2
解得a≥2或a≤-1
∵二次项系数a=1＞0，f(x)的对称轴为直线x=a
∴（1）当a≥2时，f(x)在[-1,1]上为减函数
f(-1)=(-1)²-2a*(-1)+a=2
f(1)=1²-2a*1+a=-2
解得a无解
（2）当a≤-1时，f(x)在[-1,1]上为增函数
f(-1)=(-1)²-2a*(-1)+a=-2
f(1)=1²-2a*1+a=2
解得a=-1,符合题意
∴存在实数a,使函数f(x)=x^2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]
a=-1

答题思路：在做这道题时可以对对称轴x=a在R上进行分类讨论，方法如1楼的答案，但这样做步骤比较烦琐,。根据f(x)开口向上，则f(x)在R上的最小值一定小于等于f(x)在一段区间上的最小值，列出方程，缩小a的范围，这样做可以使题目简单化。

Answer 2

,此函数为二次函数典型题，可通过判断对称轴与定义域关系，判断定义域内最值满足值域来证明a是否存在。
此函数对称轴为a，
1）a<=-1,函数在定义域内单调递增，最小值f(-1)=1+3a,最大值f(1)=1-a,并满足f(-1)=-2,f(1)=2,解得a=-1
2）a>=1,函数在定义域内单调递减，最大值f(-1)=1+3a,最小值f(1)=1-a,并满足f(-1)=2,f(1)=-2,解得不存在
3）-1<a<0,最小值f(a)=-a^2+a,最大值f(1)=1-a并满足f(a)=-2,f(1)=2解得不存在
4)0<=a<1,最小值f(a)=-a^2+a,最大值f(-1)=1+3a并满足f(a)=-2,f(-1)=2解得不存在
综上可得存在a=-1。

Answer 3

f(x)=x^2-2ax+a=(x-a)^2+a-a^2开口向上，对称轴x=a

设a＜-1，则区域[-1,1]在对称轴右侧，函数单调增
最小值f(-1)=1+2a+a=-2，a=-1
最大值f(1)=1-2a+a=2，a=-1
∴a 不小于 -1

设-1≤a≤1/2
极值极为最小值：a-a^2=-2，(a+1)(a-2)=0，a=-1
最大值f（1）=1-2a+a=2，a=-1
∴a=-1

设1/2≤a≤1
极值极为最小值：a-a^2=-2，(a+1)(a-2)=0，a=-1
最大值f（-1）=1+2a+a=2，a=1/3
∴a不属于[1/2，1]

设a＞1，区域[-1,1]在对称轴左侧，函数单调减
最小值f(1)=1-2a+a=-2，a=3
最大值f(-1)=1+2a+a=-2，a=-1/3
∴a不大于1

综上，存在a
a=-1

Answer 4

对称轴为x = a
当f(a) = a-a^2时为函数最少值，当a = -1，f(a) = -2
f(x) = x^2+2x-1 , x = 1时，f(1) = 2，所以当a = -1时，定义域[-1,1],值域为[-2,2]符合条件。