Question

高一，数列1²＋2²＋3²+-------＋n² 的和怎么算

Answer 1

证明：
1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
方法一：
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1

2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
3^3-2^3=3*3^2-3*3+1
4^3-3^3=3*4^2-3*4+1
...
n^3-(n-1)^3=3*n^2-3n+1

叠加得：
n^3-1^3
=3*(2^2+3^2+...+n^2)-3(2+3+...+n)+n-1
=3*(1^2+2^2+...+n^2)-3(1+2+...+n)+n-1
=3*(1^2+2^2+...+n^2)-3n(n+1)/2+n-1
所以1^2+2^2+...+n^2=[n^3-1+3n(n+1)/2-n+1]/3

化简得：1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6