Question

极限的运算法则的证明怎么证明

Answer 1

先证lim[f(x)+-g(x)]=limf(x)+-limg(x)
由limf(x)=A,limg(x)=B,得到f(x)=A+a,g(x)=B+b,其中a,b为无穷小，于是有f(x)+-g(x)=(A+a)+-(B+b)=(A+-B)+(a+-b)由于无穷小量a和b所以 lim[f(x)+-g(x)]=A+-B=limf(x)+-g(x)极限乘法的证明也类似，楼主可以自己证。
再证lim[f(x)/g(x)]=limf(x)/limg(x)=A/B,B不为0
同样的有f(x)=A+a,g(x)=B+b 设 r=f(x)/g(x)-A/B 即r=(A+a)*(B+b)-A/B=(Ba-Ab)/[B(B+b)]
r看作2个数的乘积，其中Ba-Ab是无穷小，转而证明1/[B(B+b)]在x的某一邻域内有界，即证明了r的极限为0，命题成立。
由于limg(x)=B由极限定理可知 存在x，当x属于u(x)时，|g(x)|>|B|/2,从而|1/g(x)|<2/|B|
|1/B(B+b)|=1/B*|1/g(x)|<1/|B|*2/|B|=2/|B|^2B是非0常数 从而证明了1/[B(B+b)]有界，r为无穷小量（常数乘无穷小=无穷小）
得到f(x)/g(x)=A/B+r limf(x)/g(x)=A/B=limf(x)/limg(x)
应该差不多了吧 希望满足楼主需求