Question

裂项求和怎么个做法？

Answer 1

例如：
1、求和：S(n)=1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/[n(n+1)]。
由于
1/[n(n+k)]=(1/k)[(1/n)-1/(n+k)]
当上式的k=1时就是所要求的题目了，
于是
S(n)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)。

2、求和：T(n)=1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)。
由于
n(n+1)…(n+m)=[1/(m+2)][n(n+1)…(n+m+1)-(n-1)n(n+1)…+(n+m)]
所求的式子即上式取m=1时的情况。
所以
T(n)=(1/3)[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+…+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]
=(1/3)n(n+1)(n+2)。

以上，当k、m为其他数的时候也可以用。

Answer 2

见百度百科：http://baike.baidu.com/view/1738296.htm