Question

已知等比数列{an}的首项a1>0,公比q>0.设数列{bn}的通项bn=a(n+1)+a(n+2),

数列{an},{bn}的前n项之和为An和Bn，试比较An和Bn的大小

Answer 1

解：由题意An=a1+a2+a3+……+an ，
Bn=b1+b2+b3+……+ bn= a2+a3+ a3+ a4……+an+ an+1+ an+1+ an+2
=An+ a3+ a4……+an+ an+1+ an+1+ an+2－a1
Bn－An = a3+ a4……+an+ an+1+ an+1+ an+2－a1 = a1 (1－qn )(q2+q-1)/( 1－q)
令 q2+q-1=0 解得 q=(√5－1)／2 ,
∴ 当 0< q < (√5－1)／2 时，q2+q-1< 0 ，(1－qn )与( 1－q)同号，故Bn－An < 0
即Bn< An
当q > (√5－1)／2 时，q2+q-1> 0 ，故Bn－An > 0, 即Bn> An

Answer 2

an=a1q*(n-1),所以bn=a1(1+q)q*n=a1q(1+q)q*(n-1),所以An=[a1(1-q*n)]/(1-q),Bn=[a1q(1+q)(1-q*n)/(1-q)所以An/Bn=1/q(1+q)<1所以An<Bn