Question

数学问题：Sn=2/2+3/2的平方+4/2的三次方+······+n/2的n-1次方+n+1/2的n次方 过程谢谢

Answer 1

Sn=2/2+3/2的平方+4/2的三次方+······+n/2的n-1次方+n+1/2的n次方（1）
方程式两边同乘以2，得：
2Sn=2+3/2+4/2的二次方+······+n/2的n-2次方+n+1/2的n-1次方（2）
用（2）式减去（1）式，得：
Sn=2+(3-2)/2+(4-3)/2^2+......+(n+1-n)/2^(n-1)-(n+1)/2^n
=2-(n+1)/2^n+(1/2+1/2^2+1/2^3+......+1/2^(n-1))
=2-(n+1)/2^n+1-1/2^(n-1)
=3-(n+3)/2^n

Answer 2

sn=2/2+3/2^2+4/2^3+……+n/2^(n-1)
Sn=1+2*2+3*2^2+4*2^3+...+n*2^(n-1) ① (两边乘以2）

2Sn=1*2+2*2^2+3*2^3+...+n*2^n ②

①-②
-Sn=1+2+2^2+2^3+...+2^(n-1)-n*2^n
=1*[1+2^(n-1)]/(1-2)-n*2^n
=-1-2^(n-1)-n*2^n

所以Sn=1+2^(n-1)+n*2^n

这是数列求和中常用的错位相减法！！！

Sn = 2/2 + 3/2^2 + 4/2^3 + …… + n/2^(n-1) + (n+1)/2^n
(1/2)Sn = 2/2^2+ 3/2^3 + …… + n/2^n + (n+1)/2^(n+1)
两式相减得
(1/2)Sn= 1 + [ 1/2^2+ 1/2^3 +……+ 1/2^n ] - (n+1)/2^(n+1)
= 1/2+ [ 1/2 + 1/2^2+ 1/2^3 +……+ 1/2^n ] - (n+1)/2^(n+1)
= 1/2 + [(2^n - 1)/2^n] - (n+1)/2^(n+1)
= [2^(n+1) + 2^n - n - 3]/[2^(n+1)]
= (3×2^n - n - 3)/[2^(n+1)]