Question

已知平面向量a=(根号3，-1),b=(1\2,根号3\2),若存在不同时为0的实数KT，

使得向量X=A+(T^2-3)B,向量Y=-KA+TB,且向量X⊥向量Y，求函数关系式K=F(T)及其单调区间？
很急、求解、谢啦！

Answer 1

x=a+(t^2-3)b
=(√3,-1)+((t^2-3)/2,√3(t^2-3)/2)
=((t^2-3+2√3)/2, (√3t^2-3√3-2)/2)
y=-ka+tb
=(-√3k,k)+(t/2,√3t/2)
=((t-2√3k)/2, (2k+√3t)/2 )
因为x⊥y
所以 x·y=0
即(t^2-3+2√3)/2 * (t-2√3k)/2 + (√3t^2-3√3-2)/2 * (2k+√3t)/2 =0
整理得 4k=t^3-3t
k=(t^3-3t)/4
所以 k=f(t)=(t^3-3t)/4
利用导数求f(t)的单调区间
f ' (t) =3(t^2-3)/4
令 f ' (t ) >0 得 t<-1或 t>1
令 f ' (t)<0 得 -1<t<1
所以 f(t)的单调增区间(-∞,-1) 和 (1,+∞)
单调减区间为 (-1, 1)