初中数学-几何-直角三角形
注意：极限法、特殊化大家都推过了。 展开
肯定是DEF大于AC。具体论证过程下班给你，主要是用三角形两边之和第三条边这个定理。
补充证明过：图片传不上来，所以只能用文字说明，可以自己对照着画图看看。
根据EF的位置可以分为几种情况。设M是BC的中点，N是AB的中点。
1、当E,F分别与M,N重合时，，则可以得出，EF=AC/2，因为DE+DF>EF，所以DEF的周长>AC.
2、当E在MC上，且F与N重合时，则可以得出DE>DM,EF>MF,所有DE+EF+DF>DM+MF+DF,根据上面可得DM+MF+DF>AC,所以DEF的周长>AC.
3、当E和M重合，且F在AN上时，同上证明可得DEF的周长>AC。
4、当E在MC上，F在AN上时，则DE>DM,DF>DN,EF>MN，所以DEF的周长大于DMN的周长，由上面的证明可得DMN的周长>AC，所以DEF的周长>AC.
5、当E在MC上，F在BN上时，则DE>DM,DF>DN,EF>BM=DM,所以DEF的周长>3DM,因为2DM²=DC²=（AC/2)²，所以DEF的周长>AC。
6、当F在AN上，E在BM上时，同上证明可得DEF的周长>AC。
7、当E在BM上，F在BN上时，则可以有DE²=DM²+ME²，DF²=DN²+NF²,EF²=BE²+BF².所以DE²+DF²+EF²=DM²+ME²+DN²+NF²+BE²+BF²=（DM²+ME²+BE²）+(DN²+BF²+NF²).因为ME+BE=BM=DM，BF+NF=BN=DN,所有当且只有当ME=BM=NF=BN时，DE²+DF²+EF²的值最小,当且只有当ME=BM=NF=BN时，DEF的周长最小，此时DEF周长等于AC，但是因为DEF是三角形，所以ME=BM=NF=BN是不可能成立的，即EF点不可能同时和B重合，所以DEF的周长只能大于AC.
综上所证，不管E,F在任何位置，DEF的周长>AC。
不知道你能否看懂，因为最后一种情况用到勾股定理了，看起来有点复杂。希望对你有帮助。
我还想到一种更简单的证明方法。这应该容易看懂了。
连接BD，设BD与EF的交点为O，则三角形DEF的周长=(DE+EO)+(DF+FO),因为在三角形DEO中，当且只有当E到BD的距离为0时，DE+EO才能取得最小值，在三角形DFO中，当且只有当F到BD的距离为0时，DF+FO才能取得最小值。所以 （DE+EO)+(DF+FO)要取得最小值必须同时满足E,F两个点到BD的距离同时为0,而如果E,F到BD的距离都为0时，（DE+EO)+(DF+FO)=2BD=AC，因为DEF是三角形，所以E,F两个点到BD的距离同时为0是不可能成立的，所以DEF的周长肯定大于AC。如果看不懂你自己画下图就很容易明白了。
所以AC一定小于三角形DEF的周长。
