怎样证明矩阵逆的伴随矩阵等于伴随矩阵的逆
根据 |A|A⁻¹=A*
有(A⁻¹)*= |A⁻¹|(A⁻¹)⁻¹=A/|A|
而(A*)⁻¹= (|A|A⁻¹)⁻¹ = (A⁻¹)⁻¹/|A| = A/|A|
故矩阵逆的伴随矩阵等于伴随矩阵的逆，即(A⁻¹)*=(A*)⁻¹。
当原矩阵有可逆矩阵时，伴随矩阵也可逆；当原矩阵不可逆，行列式等于零，伴随矩阵也不可逆，行列式也等于零。
当可逆时，原矩阵、逆矩阵、伴随矩阵满足关系AA* = |A|E，两边同时左乘A^-1可得A*=|A|A^-1，可根据条件灵活运用。
扩展资料：
证明
逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。
设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C
假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。
由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。
矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I
由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。
（1）在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）=A-1O=O
而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O
（2）由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。得B-C=O，即B=C。
参考资料来源：百度百科-逆矩阵
根据 |A|A⁻¹=A*
有(A⁻¹)*= |A⁻¹|(A⁻¹)⁻¹=A/|A|
而(A*)⁻¹= (|A|A⁻¹)⁻¹ = (A⁻¹)⁻¹/|A| = A/|A|
故矩阵逆的伴随矩阵等于伴随矩阵的逆，即(A⁻¹)*=(A*)⁻¹。
扩展资料：
伴随矩阵的性质：
1、当r(A)=n时，由于公式r(AB)<=r(A),r(AB)<=r(B)，并且r(AA*)=r(I)=n,则，伴随的秩为n；
2、当r(A)=n-1时，r(AA*)=|A|I=0，加上公式r(A)+r(B)<=n-r(AB)，带入得到，r(A*)=1;
3、
4、当r(A)<n-1时，由上述定义得到伴随矩阵其每个元素都为零，所以秩为零。
参考资料来源：百度百科-伴随矩阵
由于 |A|A逆=A*
则(A逆)*= |A逆|(A逆)逆=A÷|A|
而(A*)逆= (|A|A逆)逆 = (A逆)逆÷|A| = A÷|A|
(第二个用到公式 (aA)逆 =A逆÷a)
所以矩阵逆的伴随矩阵等于伴随矩阵的逆。
扩展资料：
一、伴随矩阵性质
讨论矩阵的秩，设A是n阶方阵, 若A*为伴随矩阵，则
当 r(A) = n 时, r(A*) = n
当 r(A) = n-1 时, r(A*) = 1
当 r(A) < n-1 时, r(A*) = 0
所以，当原矩阵有可逆矩阵时，伴随矩阵也可逆；当原矩阵不可逆，行列式等于零，伴随矩阵也不可逆，行列式也等于零。
当可逆时，原矩阵、逆矩阵、伴随矩阵满足关系AA* = |A|E，两边同时左乘A^-1可得A*=|A|A^-1，可根据条件灵活运用。
二、伴随矩阵特殊求法
1、当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。
2、二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素加负号。
参考资料来源：百度百科-伴随矩阵
你好！可用逆矩阵与伴随阵关系如图证明。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
有(A⁻¹)*= |A⁻¹|(A⁻¹)⁻¹=A/|A|
而(A*)⁻¹= (|A|A⁻¹)⁻¹ = (A⁻¹)⁻¹/|A| = A/|A|
故矩阵逆的伴随矩阵等于伴随矩阵的逆，即(A⁻¹)*=(A*)⁻¹。
扩展资料：
伴随矩阵的性质：
1、当r(A)=n时，由于公式r(AB)<=r(A),r(AB)<=r(B)，并且r(AA*)=r(I)=n,则，伴随的秩为n；
2、当r(A)=n-1时，r(AA*)=|A|I=0，加上公式r(A)+r(B)<=n-r(AB)，带入得到，r(A*)=1;
4、当r(A)<n-1时，由上述定义得到伴随矩阵其每个元素都为零，所以秩为零。
参考资料来源：搜狗百科-伴随矩阵
