有关双曲线的公式
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F1（-c,0）、F2（c,0）是双曲线C：
x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0,c^2=a^2＋b^2）的2焦点
P（x0,y0）为C上的一点，我们称｜PF1｜、｜PF2｜为双典线的焦半径，则｜PF1｜=±（a＋ex0）,｜PF2｜=±（ex0-a）,（e=c/a为离心率）．当点在双曲线的右支上时取“＋”．当点在双曲线的左支上时取“-”．
在平面直角坐标系中，二元二次方程h(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
1. a,b,c不都是0。
2. b^2 - 4ac > 0。
在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
双曲线的简单几何性质
1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）。 2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：A(-a,0)， A'(a,0)。同时 AA'叫做双曲线的实轴且∣AA'│=2a. B(0,-b)， B'(0,b)。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.
4、渐近线： 焦点在x轴：y=±(b/a)x. 焦点在y轴：y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角 令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos(1/e) 令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e 这两个x是双曲线定点的横坐标。 求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标） x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 （注意化简一下） 直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。 将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’ 则θ’=θ-[PI/2-arccos(1/e)] 则θ=θ’+[PI/2-arccos(1/e)] 代入上式： ρcos{θ’+[PI/2-arccos(1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 即：ρsin[arccos(1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 现在可以用θ取代式中的θ’了 得到方程：ρsin[arccos(1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 现证明双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1 上的点在渐近线中 设M(x,y)是双曲线在第一象限的点，则 y=(b/a)√(x^2-a^2) (x>a) 因为x^2-a^2<x^2,所以y=(b/a)√(x^2-a^2)<b/a√x^2=bx/a 即y<bx/a 所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方 根据对称性第二、三、四象限亦如此 5、离心率： 第一定义： e=c/a 且e∈(1，+∞). 第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e. d点│PF│/d线（点P到定直线(相应准线)的距离）=e 6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离） 左焦半径：r=│ex+a│ 右焦半径：r=│ex-a│ 7、等轴双曲线 一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2 这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴） 8、共轭双曲线 双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。 几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S'：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1
特点：（1）共渐近线 （2）焦距相等 （3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 9、准线： 焦点在x轴上：x=±a^2/c 焦点在y轴上：y=±a^2/c 10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦） d=2b^2/a 11、过焦点的弦长公式： d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 12、弦长公式： d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下： 由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ] 稍加整理即得： |AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²) ·双曲线的标准公式与反比例函数 X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的 因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴 所以应该旋转45度 设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针） (a为双曲线渐进线的倾斜角) 则有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa 取 a = π/4 则 X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 = (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以 X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.编辑本段·双曲线焦点三角形面积公式
若∠F1PF2=θ, 则S△F1PF2=b^2;·cot（θ/2) ·例：已知F1、F2为双曲线C：x^2;-y^;=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多 少？ 解：由双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b^2;·cot（θ/2)=1×cot30°， 设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=½×F1F2×h=½2√2×h=√3， h=√6/2
·双曲线参数方程
双曲线的参数方程:x=a secθ (正割) y=b tanθ ( a为实半轴长， b为虚半轴长， θ为参数。)
x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0,c^2=a^2＋b^2）的2焦点
P（x0,y0）为C上的一点，我们称｜PF1｜、｜PF2｜为双典线的焦半径，则｜PF1｜=±（a＋ex0）,｜PF2｜=±（ex0-a）,（e=c/a为离心率）．当点在双曲线的右支上时取“＋”．当点在双曲线的左支上时取“-”．
在平面直角坐标系中，二元二次方程h(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
1. a,b,c不都是0。
2. b^2 - 4ac > 0。
在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
双曲线的简单几何性质
1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）。 2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：A(-a,0)， A'(a,0)。同时 AA'叫做双曲线的实轴且∣AA'│=2a. B(0,-b)， B'(0,b)。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.
4、渐近线： 焦点在x轴：y=±(b/a)x. 焦点在y轴：y=±(a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角 令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos(1/e) 令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e 这两个x是双曲线定点的横坐标。 求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标） x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 （注意化简一下） 直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。 将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’ 则θ’=θ-[PI/2-arccos(1/e)] 则θ=θ’+[PI/2-arccos(1/e)] 代入上式： ρcos{θ’+[PI/2-arccos(1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 即：ρsin[arccos(1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 现在可以用θ取代式中的θ’了 得到方程：ρsin[arccos(1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 现证明双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1 上的点在渐近线中 设M(x,y)是双曲线在第一象限的点，则 y=(b/a)√(x^2-a^2) (x>a) 因为x^2-a^2<x^2,所以y=(b/a)√(x^2-a^2)<b/a√x^2=bx/a 即y<bx/a 所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方 根据对称性第二、三、四象限亦如此 5、离心率： 第一定义： e=c/a 且e∈(1，+∞). 第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e. d点│PF│/d线（点P到定直线(相应准线)的距离）=e 6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离） 左焦半径：r=│ex+a│ 右焦半径：r=│ex-a│ 7、等轴双曲线 一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2 这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴） 8、共轭双曲线 双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。 几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S'：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1
特点：（1）共渐近线 （2）焦距相等 （3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 9、准线： 焦点在x轴上：x=±a^2/c 焦点在y轴上：y=±a^2/c 10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦） d=2b^2/a 11、过焦点的弦长公式： d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 12、弦长公式： d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下： 由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ] 稍加整理即得： |AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²) ·双曲线的标准公式与反比例函数 X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的 因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴 所以应该旋转45度 设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针） (a为双曲线渐进线的倾斜角) 则有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa 取 a = π/4 则 X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 = (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以 X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.编辑本段·双曲线焦点三角形面积公式
若∠F1PF2=θ, 则S△F1PF2=b^2;·cot（θ/2) ·例：已知F1、F2为双曲线C：x^2;-y^;=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多 少？ 解：由双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b^2;·cot（θ/2)=1×cot30°， 设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=½×F1F2×h=½2√2×h=√3， h=√6/2
·双曲线参数方程
双曲线的参数方程:x=a secθ (正割) y=b tanθ ( a为实半轴长， b为虚半轴长， θ为参数。)
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