Question

已知直线l过点P(2,1),且与X轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点

已知直线l过点P(2,1),且与X轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点.当OA+OB的值最小时，求直线l的方程。

Answer 1

解：由题意可知直线l的斜率k<0，
且由直线的点斜式方程得到直线l的方程：
y-1=k(x-2),即y=kx-2k+1
令x=0，代入方程得y=-2k+1
令y=0，代入方程得x=(2k-1)/k
所以直线l与x轴、y轴的交点坐标分别是
点A( (2k-1)/k,0 ) ，点B(0,-2k+1)
则易知OA=(2k-1)/k,OB=-2k+1
所以：OA+OB
=(2k-1)/k -2k+1
=3+(-1/k -2k)
因为k<0,即-1/k>0,-2k>0
所以由均值定理得：
-1/k -2k≥2√[(-1/k)*(-2k)]=2√2 (当且仅当-1/k ＝-2k即k=-√2/2时取等号)
这就是说当k=-√2/2，OA+OB有最小值3+2√2
所以此时直线l的方程是：
y＝(-√2/2)*x +√2 +1

Answer 2

设直线方程为y=k(x-2)+1,k<0
当x=0时，y=1-2k，即OB=1-2k
当y=0时，x=2-1/k,即OA=2-1/k
OA+OB=3-2k-1/k>=3+2根号（2k×1/k）=3+2根号2 （当k=-根号2/2时取等）
直线方程为y=-根号2/2×（x-2）+1