F1,F2为双曲线C:x的平方-y的平方=1的左右焦点,点P在双曲线C上,角F1PF2为60...

F1,F2为双曲线C:x的平方-y的平方=1的左右焦点,点P在双曲线C上,角F1PF2为60度,则PF1的长乘PF2的长等于?... F1,F2为双曲线C:x的平方-y的平方=1的左右焦点,点P在双曲线C上,角F1PF2为60度,则PF1的长乘PF2的长等于? 展开
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2011-08-12 · TA获得超过514个赞
知道小有建树答主
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设∠F₁PF₂=α,双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1即x²-y²=1.
∵P在双曲线上. ∴由定义|PF₁-PF₂|=2a=2.
在△F₁PF₂中,由余弦定理得
|F₁F₂|² = |PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cosα
=|PF₁-PF₂|² + 2PF₁·PF₂- 2PF₁·PF₂cosα
=|PF₁-PF₂|² + 2PF₁·PF₂(1-cosα)
∵F₁F₂=2c.
∴(2c)² = (2a)²+2PF₁PF₂(1-cosα)
∴PF₁·PF₂=[(2c)²-(2a)²]/(2-2cosα)=2b²/(1-cosα)=2/[1-½]=4.
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