Question

求数学解题过程，要完整过程，谢谢

已知x1、x2是一元二次方程2x²-2x+m+1=0的两个实数根.
（1）求实数m的取值范围
（2）如果x1、x2满足不等式7+4x1x2>x1²+x2²,且m为整数，求m的值。

Answer 1

1.
方程有两个实根,则△≥0
4-8(m+1)≥0
2(m+1)≤1
m+1≤1/2
m≤-1/2

2.
根据韦达定理
x1+x2=1
x1*x2=(m+1)/2
7+4x1x2＞x1²+x2²
7+6x1x2＞(x1+x2)²
7+6*(m+1)/2＞1
3(m+1)＞-6
m+1＞-2
m＞-3
-3＜m≤-1/2
m=-2或m=-1

Answer 2

(1)
一元二次方程有实数根代表其判别式
(-2)^2-4×2×(m+1)≥0
-4-8m≥0
8m≤-4
m≤-1/2
(2)
既然x1,x2为方程2x²-2x+m+1=0的两个实数根
那么
2x1²-2x1+m+1=0 ①
2x2²-2x2+m+1=0 ②
①+②得：
2(x1²+x2²)-2(x1+x2)+2(m+1)=0
x1²+x2²=(x1+x2)-(m+1)
带入7+4x1x2>x1²+x2²
7+4x1x2>(x1+x2)-(m+1)
由根与系数关系知 x1+x2==1
x1×x2=(m+1)/2
带入化简后的不等式得
7+4(m+1)/2>1-(m+1)
m>-3
要保证方程有实数根
综合-3＜m≤-1/2
m=-1或-2