Question

如图,抛物线y=1/3x^2-mx+n与x轴交于A.B两点,与y轴交于点c(0,-1),且对称轴x=1.

(1)求出抛物线的解析式及A.B两点的坐标 （2）在X轴下方的抛物线上是否存在点D,使四边形ABCD的面积为3,若存在,求出点D的如图,抛物线y=1/3x^2-mx+n与x轴交于A.B两点,与y轴交于点c(0,-1),且对称轴x=1.(1)求出抛物线的解析式及A.B两点的坐标 （2）在X轴下方的抛物线上是否存在点D,使四边形ABCD的面积为3,若存在,求出点D的坐标；若不存在说明理由（使用图1）（3）点Q在Y轴上,点P在抛物线上,要使Q.P.A.B为顶点的四边形使平行四边形,请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）

Answer 1

解（思路）：

（1）对称轴x=1，则m=2/3；又过（0，-1）点，则n=-1

原方程为y=1/3x^2-2/3x-1

设A点坐标为（a，0），B点坐标为（b，0）代入方程得

A点坐标（-1,0），B点坐标（3,0）

（2）四边形ACBD的面积=△ACB面积+△BCD面积

S△ACB=0.5*AB*OC=0.5*4*1=2，则S△BCD必须=1

根据勾股定理得BC=根号10，且BC所在直线的方程为y=1/3x-1。

设D点坐标为（x1,y1），

那么根据点到直线的距离公式，可以求出抛物线上D点到直线y=1/3x-1的距离d（d是含x1,y1的一个代数式）

D点又在抛物线上，且0<x1<3,y<0，结合抛物线方程可计算出d的取值范围。

再计算是否满足S△BCD=1

最后确定D点坐标

（3）要使Q.P.A.B为顶点的四边形是平行四边形则PQ与AB一定是互相平分。且依据题意，交点为（1,0）点。由于平行四边形关于中心对称的特性，那么P点一定在x=2直线上（Q点在x=0直线上），且P点在抛物线上。

所以P点坐标就可以计算出来了。P（2，-1）

这是以AB为平行四边形对角线的情况，还一种情况是以AB为边的时候。

那么AB=PQ，根据点到直线的距离公式，

还可以算出2个P点坐标来。既左边抛物线上一个点P`，和右边抛物线上一个点P``。

这两个点的Y值均大于0