Question

已知a、b满足a^3-3a^2+5a=1,b^3-3b^2+5b=5,求a+b=?

Answer 1

我来试试吧...

解： 设f(x)=x^3-3x^2+5x
f'(x)=3x^2-6x+5
△=36-4*3*5<0,故f'>0
f(x)在R上↑
f"=6x-6令=0，
解得拐点为(1,3)
故配方得
f(x)=x^3-3x^2+5x=(x-1)³+2(x-1)+3
于是f(x)关于点（1.3）对称
f(a)+f(b)=6=2*3
则a+b=2*1=2

另解：x^3-3x^2+5x=(x-1)³+2(x-1)+3
(a-1)³+2(a-1)+3=1
(b-1)³+2(b-1)+3=5
相加得到
(a-1)³+2(a-1)+(b-1)³+2(b-1)=0
(a+b-2)[(a-1)²-(a-1)(b-1)+(b-1)²]+2(a+b-2)=0
(a+b-2)[(a-1)²-(a-1)(b-1)+(b-1)²+2]=0
[(a-1)²-(a-1)(b-1)+(b-1)²]+>0
故a+b=2