Question

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒满足f(2+x)=-f(x)，当x∈[0,2]时，f（x）=2x-x²

（1），求证：f（x）是周期函数
（2），求证：当x∈[2,4]时，求f（x）的解析式

Answer 1

（1）f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+4))=f(x+4),所以f(x)是以4为周期的周期函数。
（2）根据奇函数性质f(x)=-f(-x),可知x∈[-2,0]时，f(x)=-f(-x)=-(-2x-x²)=2x+x², 而f(x)是以4为周期的周期函数，当x∈[2,4]时，f(x)=f(x-4)=2(x-4)+(x-4)²=x²-6x+8

追问

f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+4))???????,哪儿来的

追答

根据f(x+2)=-f(x)这条件...于是f(x+4)=-f(x+2)，这个就是把x+2作为一个整体看作条件中的x，带进去就是了

Answer 2

f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以f（x）是周期函数，4为其一个正周期
f(2+x)=-f(x)这个式子可以改写成f(x)=-f(x-2)
当x∈[2,4]时，求f（x）的解析式
f(x)=-f(x-2)=x²-6x+8