Question

lim(x→0) [(1+x)^(1/x)-e]/x的极限

Answer 1

用到拉格朗日中值，和泰勒式
原式=lim(x→0) [e^[ln(1+x)/x]-e]/x
=lim(x→0) (e^ξ)[ln(1+x)/x-1]/x {用到e^ξ[ln(1+x)/x-1]=e^[ln(1+x)/x]-e,其中f(x)=e^x}
=lim(x→0) (e^ξ){[x-(1/2)x^2+o(x^2)]/x-1}/x
=lim(x→0) (e^ξ)[o(x^2)/x-x/2]/x [ln(1+x)/x<ξ<1,当x->0时，ξ->1]
=lim(x→0) -e/2

Answer 2

式子为“0/0”，用洛比达法则（分子分母分别求导）：
lim(x→0) [(1+x)^(1/x)-e]/x
=lim(x→0) [(1+x)^(1/x)-e]'/x'
=lim(x→0) [(1+x)^(1/x)-e]'
=lim(x→0) [(1+x)^(1/x)]'（将A化为e^(ln A)进行复合函数求导）
=lim(x→0) (1+x)^(1/x)【1/x(1+x)-1/x^2*ln(1+x)】
=elim(x→0)【1/x(1+x)-ln(1+x)/x^2】((1+x)^(1/x)=e,x→0)
=elim(x→0)【x-(1+x)ln(1+x)】/【x^2*(x+1)】(再用2次洛比达法则)
=elim(x→0)【-ln(x+1)】/(3x^2+2x)
=elim(x→0) -1/(1+x)(6x+2)(此时，可以把x=0代入)
=(-1/2)*e

Answer 3

洛比达法则
= ( 1/(x(1+x)) - ln(1+x)/x^2 ) * e / 1
= ( 1/x - ln(1+x)/x^2 ) * e
= (x-ln(1+x))/x^2 * e
= (1-1/(1+x))/2x * e
= x/2x/(1+x) * e
= e/2

Answer 4

二楼的正解-e/2