Question

根号x(1+x)分之dx 求详细过程，书上的我看不懂，谢谢！

Answer 1

是求函数1/[根号x(1+x)]的不定积分吧？下面是计算过程：
函数1/[根号x(1+x)]是无理函数，采用变量代换的方法将其转化为有理函数的不定积分进行计算。如果将x(1+x)作为一个整体引入一个新的变量，我们会发现x的表达式不易写出，为此现将x(1+x)变换为[x^2)*(1+x)]/x，这样一来根号x(1+x)=x*根号[(1+x)/x]，
令t^2=(1+x)/x，则x=1/(t^2-1)，dx=-2tdt/[(t^2-1)^2]，于是
dx/[根号x(1+x)]=-2dt/(t^2-1)=-2dt/[(t+1)(t-1)]=dt/(t+1) -dt/(t-1)
于是函数1/[根号x(1+x)]的不定积分=ln|t+1|-ln|t-1|+C=ln|(t+1)/(t-1)|+C=ln|1+2x+2根号[x(1+x)]|+C

Answer 2

求不定积分：∫ dx/√[x(1+x)]
解：令x=tan²u，则dx=2tanusec²udu，代入原式得：
原式=∫ 2(tanusec²udu)/√[tan²u(1+tan²u)]=2∫(tanusec²udu)/[tanusecu]=2∫secudu
=2ln(secu+tanu)+C=2ln[√(x+1)+√x]+C
注：x=tan²u，tanu=√x，secu=√(1+tan²u)=√(x+1)

Answer 3

是函数求微分吧，请你把题目写清楚。

追问

根号x(1+x)分之dx的微分，根号只对x有效