Question

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）。

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）。
(1)求证，f（x）是周期函数
(2)若f（x）为奇函数，且当0<=X<=1时，f（x）=1/2x，求使f（x）=-1/2在【0,2009】上的所有x的个数
（要详细过程）

Answer 1

1) f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x)
T=4
2) 0<=x<=1 f(x)=1/2*x
-1<=x<=1 f(x)=1/2*x

1<=x<=3,-1<=x-2<=1
f(x)=-f(x-2)=-1/2*(x-2)=-1/2*x+1

在每一个 【0+4k，4+4k】上，有唯一 x=3+4k 使f(x)=-1/2
所以，在 【0，2009】上，共有 2008/4=502个x使f(x)=-1/2.