Question

已知函数f(x)=lg(x+√(x^2+1)).若（x+√(x^2+1))(y+√(y^2+1))=1，求x+y的值。

Answer 1

先证明f(x)是奇函数：f(-x)=lg(根(x^2+1)-x)=lg(1/(x+根(x^2+1))=-lg(x+根x^2)=-f(x)
故事奇函数。
再证 f(x)是单调的（我这里用导数证明，可能你没学过，那就用定义证明，都一样）
f'(x)=1/根(x^2+1)>0
故f(x)严格单调递增。
其次：（x+√(x^2+1))(y+√(y^2+1))=1两边取对数
易知：f(x)+f(y)=0,
即f(x)=-f(y)=f(-y)=-f(-x)
由上式及单调性知道x, y关于原点对称故
x+y=0

Answer 2

[x+√(x^2+1)][y+√(y^2+1)]=1
x+√(x^2+1)=1/[y+√(y^2+1)]
=[√(y^2+1)-y]/(y^2+1-y^2)
=√(y^2+1)-y
x+y=√(y^2+1)-√(x^2+1)
=(y^2-x^2)/[√(y^2+1)+√(x^2+1)]
=(x+y)(y-x)/[√(y^2+1)+√(x^2+1)]

因为 √(y^2+1)>|y|，√(x^2+1)>|x|，所以 |y-x|<[√(y^2+1)+√(x^2+1)]
所以 x+y=0

Answer 3

log(（X＋√x^2+1)（y＋√y^2+1))=log1
log（X＋√x^2+1)+log（y＋√y^2+1)=0
f(x)+f(y)=0

√x^2=|x|
若（X＋|X|+1)>=1
则（Y＋|Y|+1)<=1
反之
若（X＋|X|+1)<=1
则（Y＋|Y|+1)>=1

因为,任何T+|T|>=0
所以X+|X|=0
Y+|Y|=0
X+Y是任何非正数

fx+fy=0
X+Y=任何非正数

Answer 4

（x+√(x^2+1))(y+√(y^2+1))=1
（x+√(x^2+1))=1/(y+√(y^2+1))=√(y^2+1)-y
x+y=√(y^2+1)-√(x^2+1))
x²+y²+2xy=y²+x²+2-2（√x²+y²+x²y²+1）
√x²+y²+x²y²+1=1-xy
x²+y²+x²y²+1=1-2xy+x²y²
（x+y)²=0
x+y=0