Question

如图，Rt△ABC中，角C=90°，点D是AC的中心，且角A+角CDB=90°，过点A，D作圆O，使圆心O在AB上，圆O与AB交

点E
1.求证：直线BD与圆O相切
2.若AD：AE=4:5，BC=6，求圆O的直径

Answer 1

因为 圆心O在AB上， 且圆O过点 D
所以 ∠ADE = 90°
所以 DE ∥ CB
即 DE 是△ABC 的中位线
连接 OD ，连接 BD
因为 ∠A + ∠CDB = 90°
∠CDB = ∠A + ∠ABD
∠DOB = ∠A + ∠ADO
∠A = ∠ADO
所以 ∠ODB = 180° - ∠ABD -∠DOB
= 180° - ∠ABD - （∠A + ∠ADO）
= 180° - ∠CDB - ∠A
= 180° - 90°
= 90°
所以 BD⊥OD
即直线BD与圆O相切

因为 AD：AE=4:5
DE ∥ CB
所以 AC：AB=4:5
又因为 △ABC 是直角三角形
所以 AC：AB：BC = 4 : 5 : √(5^2 - 4^2) = 4 : 5 : 3
又因为 BC = 6
所以 AB = 10
易得 AB = 10
所以 圆O的直径 AE = AB/2 = 5

Answer 2

解：（1）证明：连接OD
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
又∵∠A+∠CDB=90°
∴∠ADO+∠CDB=90°
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°
∴BD⊥OD
∴BD是⊙O切线
（2）连接DE
∵AE是直径
∴∠ADE=90°
又∵∠C=90°
∴∠ADE=∠C
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ACB
∴AD：AC=DE：BC
又∵D是AC中点
∴AD=AC
∴DE=BC
∵BC=6，∴DE=3
∵AD：AE=4：5
在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x
那么DE=3x
∴x=1
∴AE=5

Answer 3

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