Question

数学分数

一1/3+1/15+1/35+1/63+1/99
二1+1/1+2+1/1+2+3+1/1+2+3+4+……+1/1+2+……+2007+2008【注意其中是一加一加二分之一（就同三分之一）以此类推】
三1*2+2*3+3*4+……+98*99+99*100
四1/1*2*3+1/2*3*4+……+1/8*9*10（读作一乘二乘三分之一，同六分之一，以此类推）

Answer 1

1。
1/3+1/15+1/35+1/63+1/99+1/143
=1/2×（1-1/3）+1/2×（1/3 -1/5）+1/2×（1/5-1/7）+1/2×（1/7-1/9）+1/2×（1/9-1/11=1/2×（1-1/3+1/3-1/5······+1/9-1/11）
=1/2×（1-1/11）
=5/11
2。
首先用等差求和公式求出分母来，就是(2+n)*n/2,
bn=n(n+1)/2
an=1/bn=2/n(n+1)=2[1/n-1/(n+1)]
Sn=2[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4......+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]
=2n/(n+1)
1+1/1+2+1/1+2+3+1/1+2+3+4+……+1/1+2+……+2007+2008
=2(2008)/(2008+1)
=4016/2009
3.
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+ +98*99+99*100
=1（1+1）+2（2+1）+3（3+1）+。。。+99（99+1）
=(1^2+2^2+3^2+...+99^2)+(1+2+3+...+99)
=99（99+1）（2*99+1）/6+（1+99）99/2
=333300
其中其中利用到了前n项的平方和（n=99）
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
4。
1/(1×2×3)+1/(2×3×4)+…+1/（8×9×10）
=[1/(1×2)-1/(2×3)]/2+[1/(2×3)-1/(2×3)]/2+[1/(3×4)-1/(4×5)]/2+[1/(4×5)-1/(5×6)]/2+...+[1/(8×9)-1/(9×10)]/2
=[1/(1×2)-1/(2×3)+1/(2×3)-1/(2×3)+1/(2×3)-1/(2×3)+1/(3×4)-1/(4×5)+1/(4×5)-1/(5×6)+...+1/(8×9)-1/(9×10)]/2
=[1/(1×2)-1/(9×10)]/2
=(1/2-1/90)/2
=(44/90)/2
=22/90
=11/45