Question

一道高中物理题

我是物理老师，今天讲一道题遇到了些问题，希望帮帮我：
题目：如图，固定于竖直面内的粗糙斜杆，在水平方向夹角为30°，质量为m的小球套在杆上，在大小不变的拉力作用下，小球沿杆由底部匀速运动到顶端，为使拉力做功最小，拉力F与杆的夹角а=_______,拉力大小F=_______

答案：
当摩擦力做功为零时，拉力做功最小．将力F按沿杆和垂直于杆进行受力分解，得 mgsin30°=Fcosα① mgcos30°=Fsinα②由①②联立解得：F=mg，α=60°
我的问题：
答案的数学逻辑不正确:
题目要求F=?时推出WF最小(等价于f=0)。
而答案是用f=0去推出F=?。这相当于用了命题的否定，从数学知命题成立命题的否定不一定成立。
（由于支持力N和摩擦力f必须垂直所以保证了逆命题的正确，但是我不知道怎么用最简单的语言讲清楚这个问题）

Answer 1

题目要求F=?时推出WF最小(等价于f=0)。这是一个充要条件，

假设A是条件，B是结论
（1）由A可以推出B，由B可以推出A，则A是B的充分必要条件(A=B)
（2）由A可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的充分不必要条件(A⊆B)
（3）由A不可以推出B，由B可以推出A，则A是B的必要不充分条件(B⊆A)
（4）由A不可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的既不充分也不必要条件(A￠B且B￠A)
很显然这个题目就是一个充要条件，所以：答案是用f=0去推出F=? 这不是一个命题的否定，而是一个命题的逆命题 ，充要条件的逆命题与原命题的真假性是一致的。所以它的逻辑应该是正确的。 Tips;一个命题的否定与原命题是具有相反的真假性的，即，原命题真则这个命题的否定一定是假的。

追问

你好，我明白你的意思，它的确是一个充要条件。但是作为一道物理题，这样给学生讲会把他们绕晕的。我想讨论一下一个清楚简单的讲诉过程。

追答

对这个小球进行受力分解为垂直斜面和沿斜面两个方向，小球既然要运动就必须保证沿斜面向上有力，而且沿斜面方向的力的F的分力要最小，显然摩擦力应为0，如何才能为0呢？要保证小球对斜面没有压力，所以列出1个平衡方程。另一个方程就是匀速运动，F的沿斜面分力等于小球重力沿斜面分力相等这2个方程解出

追问

这里有两个问题：
①“显然摩擦力应为0”逻辑分析到这里只能说摩擦力应该取到最小，但是能否取到0还需要根据具体条件分析。

②当摩擦力为零（等价于N=0）去求F时，隐含使用了逆命题，需要先证明A是B的充要条件

追答

对于问题1摩擦力取到最小，最小值就是0啊， 那根据具体条件分析，假设F与小球重力大小相等方向相反，那么与杆就没有任何关系F的角度是为了使小球运动，所以一定能够取到0
对于问题2，我觉着当摩擦力为零（等价于N=0）去求F时，隐含使用了逆命题，这确实没错，但是如果要证明A是B的充要条件，太过于繁琐，这是数学上的知识，在物理领域做到前面的内容就已经足够了，没有必要进行充要条件的证明。

追问

谢谢你，下次我就这么给学生讲吧。