Question

已知集合A={x丨f(x)=x},B={x丨f[f(x)]=x},其中函数f(x)=x^2+ax+b（a、b为实数）

若A是单元素集，则A、B之间的关系是？
答案上的是A=B，求高手全体解题思路。。拜托了！

Answer 1

A={x丨f(x)=x}, )对于A中任意元素x,都满足x=f(x)，所以x=f(x)=f[f(x)]
又因为是单元素集，，所以两个集合相等

Answer 2

解法一：
设A={t}，为单元素集合，则二次方程应满足f(x)-x=(x-t)²=0
（只有唯一解，故该二次方程可变换为完全平方）,
变换上述等式，有f(x)=(x-t)²+x
对集合B中的元素x，满足f[f(x)]=x，代入上式，有：
x=[f(x)-t]²+f(x)
=[(x-t)²+x-t]²+(x-t)²+x

即：
[(x-t)²+(x-t)]²+(x-t)²=0 (*)
而
[(x-t)²+(x-t)]²>=0
(x-t)²>=0
所以方程(*)只有x=t一个解
即B={t}=A

解法二：
设A={t}，为单元素集合

故二次方程f(x)=x只有一个根，令y=f(x)-x=(x-t)²≥0(当且仅当x=t时等号成立)
则对于f(f(x))-x=[f(f(x))-f(x)]+[f(x)-x]≥0(同样，当且仅当x=t时等号成立)
故在已知A={t}，为单元素集合的条件下，f(f(x))=x只有一个解t，即B=A

Answer 3

解析：依题意，得
设x0∈A
∵A＝{x|f(x0)=x0}
∴f(x0)＝x0对任意x0∈R恒成立
故B＝{x|f[f(x0)]=x0}＝{x|f(x0)=x0}＝A
注：仅供参考！

Answer 4

因为集合A为单元素,所以将f(x)带入A中解a=+-b+1,在将该解再代一次,可解ab的两个值。同理解B即可得A=B