Question

已知数列满足an+2=4an+1-4an,a1=2,a2=8 证明an+1-2an 是等比数列,证明an/2^n是等

Answer 1

由：a(n+2)=4a(n+1)-4a(n)
立即可得：
a(n+2)-2a(n+1) = 2a(n+1)-4a(n) = 2*[a(n+1)-2a(n)]
所以显然：
{a(n+1)-2a(n)}是等比数列~且公比q=2
【第一个结论得证】

记：
b(n)=a(n+1)-2a(n). b(n)为q=2的等比数列。
且b(1) =a(2)-2a(1) =6
则：
b(n) = b(1)*q^(n-1) = 6*2^(n-1) = 3*2^n
即：
a(n+1) - 2a(n) =3*2^n
等式两边同时除以2^(n+1) 得到：
a(n+1)/2^(n+1) - a(n)/2^n =3/2
所以显然得到：
an/2^n是等差数列，且公差d=3/2.

追问

已知数列满足an+2=4an+1-4an,a1=2,a2=8,(1)证明 an+1-2an是等比数列(2)证明an/2^n是等差数列

追答

第二问有一步计算错误，更正如下：
记：
b(n)=a(n+1)-2a(n). b(n)为q=2的等比数列。
且b(1) =a(2)-2a(1) =4
则：
b(n) = b(1)*q^(n-1) = 4*2^(n-1) = 2*2^n
即：
a(n+1) - 2a(n) =2*2^n
等式两边同时除以2^(n+1) 得到：
a(n+1)/2^(n+1) - a(n)/2^n =1
所以显然得到：
an/2^n是等差数列，且公差d=1

证完了。

Answer 2

修改一下wangmumu1024的回答。。。 还有下面的注释请看一下
由：a(n+2)=4a(n+1)-4a(n)
立即可得：
a(n+2)-2a(n+1) = 2a(n+1)-4a(n) = 2*[a(n+1)-2a(n)]
所以显然：
{a(n+1)-2a(n)}是等比数列~且公比q=2
【第一个结论得证】

记：
b(n)=a(n+1)-2a(n). b(n)为q=2的等比数列。
且b(1) =a(2)-2a(1) =4
则：
b(n) = b(1)*q^(n-1) = 6*2^(n-1) = 2*2^n
即：
a(n+1) - 2a(n) =32*2^n
等式两边同时除以2^(n+1) 得到：
a(n+1)/2^(n+1) - a(n)/2^n =1
所以显然得到：
an/2^n是等差数列，且公差d=1.

注释：
其实an+1-2an 这里的2 是这么求出来的，，
让an+2=x^2,an+1=x,an=1; 带入an+2=4an+1-4an，，有x^2=4x-4.....解得.x=2...
这就是不动点法，，，
这里因为方程是重根，，，， 可以直接设出通项为 an=(k+j*n)*2^n,,,,,(k、j为待定系数）
带入初值a1=2,a2=8。。解得an=n*2^n，，，这就是通项，，，
如果方程两个解不同，，分别为c, d 的话、、、其通项为an=k*c^n+j*d^n,,,,,(k、j为待定系数）
如果方程根不存在。。。。形式比较复杂。。是e指数和三角函数以及多项式的混合，，就不说了，，，你们用不到的
希望让你满意

Answer 3

∵a(n+2)=4a(n+1)-4an
a(n+2)-2a(n+1)=2[a(n+1)-2an]
∴{a(n+1)-2an}是公比为2的等比数列
首项=a2-2a1=8-2*2=4
a(n+1)-an=4*2^(n-1)=2^(n+1)
所以有
an-a(n-1)=2^n
......
a2-a1=2^2
叠加an-a1=2^2+2^3+....+2^n
an=2+2^2+2^3+...+2^n=2*(2^n-1)/(2-1)=2^(n+1)-2
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

追问

谢谢，3Q∩_∩