Question

求函数y=(1/2)的1+2x-x²次方的值域和单调区间 详解，谢谢

Answer 1

y=(1/2)^(1+2x-x²)=2^(x^2-2x-1)
x^2-2x-1=(x-1)^2-2的最小值是-2
因为：y=2^(x^2-2x-1)是增函数，
y=(1/2)的1+2x-x²次方的值域为：[1/4 + ∞)
设：x1>x2,
y(x1)-y(x2)=2^(x1^2-2x1-1)-2^(x2^2-2x2-1)
这就是要讨论(x1^2-2x1-1)和(x2^2-2x2-1)的大小问题
(x1^2-2x1-1)-(x2^2-2x2-1)=（x1-x2）(x1+x2-2)
所以：当x1+x2>2时，(x1^2-2x1-1)>(x2^2-2x2-1)
y(x1)>y(x2)，为增函数
反之，当x1+x2<2时，为减函数
单调区间为：（-∞ 1）为减函数，[1 +∞）为增函数

Answer 2

y=(1/2)^(1+2x-x²)=(1/2)^[-(x-1)²+2]
-(x-1)²+2≤2 y≥(1/2)²=1/4
函数的值域为[4，+∞)
底数0<1/2<1，指数函数随指数递增而递减，随指数递减而递增。
令g(x)=-(x-1)²+2，对称轴x=1，二次项系数-1<0，函数图像开口向下。
x≤1时，g(x)递增，y递减；x≥1时，g(x)递减，y递增。
函数的递增区间为[1，+∞)，递减区间为(-∞，1]

Answer 3

1+2x-x²=-(x-1)²+2≤2
y=(1/2)^[-(x-1)²+2]
y=(1/2)^x为减函数
y≥1/4
单调增区间(1,+∝)
单调减区间(-∝,1)