Question

中学一元二次方程如何解

Answer 1

一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax^2+bx+c=0
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点：
　　(1)含有一个未知数；
　　(2)且未知数次数最高次数是2；
　　(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．
　　（4）将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a≠0）
一般解法

1.配方法
　　（可解全部一元二次方程）
　　如：解方程：x^2+2x－3=0
　　解：把常数项移项得：x^2+2x=3
　　等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x^2+2x+1=4
　　因式分解得：（x+1)^2=4
　　解得：x1=-3,x2=1
　　用配方法解一元二次方程小口诀
　　二次系数化为一
　　常数要往右边移
　　一次系数一半方
　　两边加上最相当
2.公式法
　　（可解全部一元二次方程）
　　首先要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
　　1.当Δ=b^2-4ac<0时 x无实数根（初中）
　　2.当Δ=b^2-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2
　　3.当Δ=b^2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根
　　当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b^2－4ac）}/2a
　　来求得方程的根
3.因式分解法
　　（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
　　因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在七年级上学期学完。
　　如：解方程：x^2+2x+1=0
　　解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1﹚^2=0
　　解得：x1=x2=-1
4.直接开平方法
　　（可解部分一元二次方程）
　　如：x^2-24=1
　　x^2=25
　　x=±5
5.代数法
　　（可解全部一元二次方程）
　　ax^2+bx+c=0
　　同时除以a，可变为x^2+bx/a+c/a=0
　　设：x=y-b/2
　　方程就变成：(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0X错__应为 (y^2+b^2/4-by)除以(by-b^2/2)+c=0
　　再变成：y^2+(b^22*3)/4+c=0X ___y^2-b^2/4+c=0
　　y=±√[(b^2*3)/4+c]X ____y=±√[(b^2)/4+c]
如何选择最简单的解法
　　1、看是否可以直接开方解
　　2．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）
　　3．使用公式法求解
　　4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。
例题精讲
　　1、直接开平方法：
　　直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n
　　例1．解方程（1）(3x+1)^2=7 （2）9x^2-24x+16=11
　　分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
　　（1）解：(3x+1)^2=7
　　∴(3x+1)^2=7
　　∴3x+1=±√7(注意不要丢解)
　　∴x= ...
　　∴原方程的解为x1=...,x2= ...
　　（2）解： 9x^2-24x+16=11
　　∴(3x-4)^2=11
　　∴3x-4=±√11
　　∴x= ...
　　∴原方程的解为x1=...,x2= ...
　　2．配方法：
　　例1 用配方法解方程 3x^2-4x-2=0
　　解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
　　将二次项系数化为1：x^2-x=
　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：x^2-x+( )^2= +( )^2
　　配方：(x-)^2=
　　直接开平方得：x-=±
　　∴x=
　　∴原方程的解为x1=,x2= .
　　3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。
　　当Δ=b^2-4ac>0时，求根公式为x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a（两个不相等的实数根）
　　当Δ=b^2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）
　　当Δ=b^2-4ac<0时，求根公式为x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a（两个虚数根）（初中理解为无实数根）
　　例3．用公式法解方程 2x^2-8x=-5
　　解：将方程化为一般形式：2x^2-8x+5=0
　　∴a=2, b=-8，c=5
　　b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
　　∴x= = =
　　∴原方程的解为x1=,x2= .
　　4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
　　例4．用因式分解法解下列方程：
　　(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0
　　(3) 6x^2+5x-50=0 (选学） (4)x^2-4x+4=0 （选学）
　　(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
　　x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
　　(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
　　∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
　　(2)解：2x^2+3x=0
　　x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
　　∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
　　∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。
　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
　　(3)解：6x2+5x-50=0
　　(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
　　∴2x-5=0或3x+10=0
　　∴x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解。
　　(4)解：x^2-4x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
　　(x-2)(x-2 )=0
　　∴x1=2 ,x2=2是原方程的解

Answer 2

举例一个方程ax^2+bx+c=0(a≠0)
可用公式法△=b^2-4ac
若△＞0 则方程有两个不等实根
若△=0 则方程有两个相等实根
若△<0 则方程无实根
当有实根时，x1=(-b+根号△)/2a或x2=(-b-根号△)/2a
望采纳

Answer 3

看书啊

Answer 4

不知