Question

已知α、β 为锐角 sinβ/sinα=cos(α+β),(1)求证 tanβ=tanα/(1+2(tanα)^2)

(2)当tanβ取最大值时，求tan（α+β）的值

Answer 1

解：（注 ：α用a表示，β用b表示）
（1）因为 sinb/sina=cos（a+b） ，所以sinb-sina=cosacosb-sinasinb 两边同除cosacosb, tanb/sinacosa=1-tanatanb 即：tanb=sinacosa-sina*2tanb tanb=sinacosa/1+sina*2
=（tana/1+tana*2）/（tana*2/1+tana*2）=tana/1+2tana*2 所以，原式成立 。
（2）由（1）知，因为tanb=tana/1+2tana*2 ，将右边分子分母同除以tana，得tanb=1/2tana+（1/tana） 对于2tana+（1/tana），利用均值不等式，由题意，a、b都为锐角。所以当且仅当tana=根下2/2时，原式大于等于2倍根下2，所以tanb小于等于根下2/4，所以tanb有最大值为根下2/4，此时tana=根下2/2。所以tan（a+b）=tana+tanb/1-tanatanb=根下2。回答完毕，谢谢。

Answer 2

sinβ/sinα=cos(α+β)
(1) sinβ=sinαcosαcosβ-sinαsinαsinβ
sinβ(1+sin²α)=sinαcosαcosβ
两边同除以cosβ
tanβ*(1+sin²α)=sinαcosα
tanβ=(sinαcosα)/(1+sin²α)
=tanα/(sec²α+tan²α)
=tanα/(1+2tan²α)
(2) tanβ=tanα/(1+2tan²α)
=1/(1/tanα+2tanα)
≤1/[2√(2tanα*1/tanα)
=√2/4
所以当2tanα=1/tanα，即tan²α=1/2
tanα=√2/2 (α 为锐角)时，
tanβ取最大值，此时tanβ=√2/4
tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
=(√2/2+√2/4)/(1-√2/2*√2/4)
=(3√2/4)/(1-1/4)
=√2
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

Answer 3

sinβ/sinα=cos(α+β)
sinβ=sinαcosαcosβ-sinαsinαsinβ
两边同时除以cosβ
tanβ=sinαcosα-sinαsinαtanβ
tanβ*（1+（sinα)^2）=sinαcosα
tanβ=(sinαcosα）/1+（sinα)^2
将等式右边上下同时除以（cosα)^2
得到
tanβ=tanα/(1+2(tanα)^2

追问

那第二题呢

追答

2) tanβ=tanα/(1+2tan²α)
=1/(1/tanα+2tanα)
≤1/[2√(2tanα*1/tanα)
=√2/4
tan²α=1/2 即tanα=√2/2 (α 为锐角)时，
tanβ取最大值，此时tanβ=√2/4
由三角函数公式：
tan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
=(√2/2+√2/4)/(1-√2/2*√2/4)
=(3√2/4)/(1-1/4)
=√2