Question

已知抛物线C1：y=x^2+2x和C2：y=-x^2+a，若直线l同时是C1和C2的切线，则称l是C1和C2的公切线.

若有两条公切线，证明相应的两条公切线互相平分。
公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。其实是两条公切线段互相平分。谢谢高手。

Answer 1

y1'=2x+2 y2'=-2x
设y1切点横坐标为p,代入抛物线则纵坐标为p^2+2p
切线方程：y-p^2+2p=(2p+2)(x-p) 即y=(2p+2)x-2(p^2)-2p+p^2-2p=(2p+2)x-p^2-4p ----(1)
设y2切点横坐标为q,代入抛物线则纵坐标为-q^2+a
切线方程：y+q^2-a=-2q(x-q)=-2qx+2q^2 即y=-2qx+2q^2+a-q^2=-2qx+q^2+a ----------(2)
(1)=(2) 即(2p+2)x-p^2-4p=-2qx+q^2+a
得q=-p-1 p^2+4p=-q^2-a 即-a=2p^2+6p+1
p1=[-3+√(9-2-2a)]/2 p2=[-3-√(9-2-2a)]/2
q1=[1-√(9-2-2a)]/2 q2=[1+√(9-2-2a)]/2
两公切线交点处有-2(q1)x+(q1)^2+a=-2(q2)x+(q2)^2+a
即x=[(q1)^2-(q2)^2]/[2(q2-q1)]=-(1/2)(q1+q2)=-1/2=(1/2)(p1+q1)
又交点在切线段上，所以得证

看在偶辛辛苦苦给您做出来的份上，多给点分呗……O(∩_∩)O