Question

点M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC边上一动点，PE⊥MC于点E，PE⊥MB于点F，

（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形，请猜想你的结论并说明理由。
（2）在（1）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？

Answer 1

解：（1）在四边形PEMF中，已经有PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，要使得其为矩形，
则必须有BM⊥MC，又因M为AD中点，则在该矩形中∠AMB=∠DMC，而∠AMB+∠DMC=90度
∴∠AMB=∠DMC=45度，∠ABM=45度， ∴AB=AM而AM=1/2AD ,
∴AB=1/2AD
(2)矩形PEMF若为正方形，则有MF=ME，又点M是矩形ABCD的边AD的中点，则△ABM≌△DCM（证明就不用多说了吧）
∴MB=MC
∴BF=CE，又正方形MFPE中FP=FE
由BF=CE，∠BFP=∠CEP=90度，FP=FE可知
△BFP≌△CEP
此时BP=CP，P为BC的中点。

Answer 2

（1）解：当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．
证明：∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
∵AD=2AB=2CD，AM=DM=1 2 AD，
∴AB=AM=DM=CD，
∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP=∠FPE=90°，
∴四边形PEMF为矩形，
即当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．

（2）解：当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．
理由是：∵PEMF为矩形，
∴∠PFM=90°=∠PFB=∠PEC，
在△BFP和△CEP中
∠FBP=∠ECP ∠PFB=∠PEC BP=CP ，
∴△BFP≌△CEP，
∴PE=PF，
∵四边形PEMF是矩形，
∴矩形PEMF是正方形，
即当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．

Answer 3

解：1)∵PE⊥ME、PF⊥MF，设EM⊥FM，由矩形的对称性得
∠BMA=∠CMD=90°/2=45°，∴AM=AB，∴AB=AD/2，
即当AB=AD/2时，四边形PEMF为矩形；
2)设PE=PF，∴P在∠BMC的平分线上，∵MB=MC，∴P为BC的中点，
即当P为BC的中点早，矩形PEMF为正方形。