Question

不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数，说明方程f'(x)=0有几个实根，并指出这些根所在的区间

解：由罗尔定理 f(x)在[1,2]上连续，可导，且f(1)=f(2)=0
所以在[1,2] 上必有一个︴使f'(︴)=0
又因为[1,2]上是单调函数，所以只有一个︴。
同理可知在[2,3]上也只有一个︴。
请问，在[1,2]上是单调函数是怎么判断出来的啊

Answer 1

拜托，f(x)不是单调函数好不好？
画个图就知道了啊！f(x)=0有三个根，1、2、3，你一画图就明白，不是单调函数了。
用这个方法做题的时候，基本都要花一个草图的。
f(1)=f(2)=0，根本就不可能单调！
正因为不是单调函数，所以才只有一个极值！
怀疑你的答案掉了一个字！
是单调函数的其实是f(x)的导函数。
这个就很容易解释了，f(x)是三次函数，由图知[1,2] 之间是凸函数，故其导函数单调递减，下一个区间同理。
希望这个解释能帮到你！

追问

这个答案是老师给我们的，我也觉得在[1,2]区间内不是单调函数，所以很纳闷，那如果不是，一个极值怎么判断啊，那会不会是f'(︴)在[1,2]区间内是单调函数啊，这样可以判断吗？

追答

嗯，就是f'(︴)在[1,2]区间内是单调函数。
这样是可以判断的。凸函数的导函数单调递减，凹函数的单增！
其实f(x)只有一个极值，也就是他的导函数对应的方程在那个区间只有一个解！
一个二次函数，在一个区间两端一个点为正一个点为负，你说他是不是有且仅有一个解呢？

Answer 2

函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，显然是一个4次方函数。它的定义域是任意实数。该函数在整个实数期间是连续的、处处可导的。

很容易求得方程 f(x)=0 共有且仅有四个解，即函数的图像有4次与x轴相交，交点分别在X轴上的x=1，2，3，4处。函数是x的4次方函数，当x趋近正负无穷大时，函数值都是正无穷大。因此，在（- ∞，1）和（4，+ ∞）区间，函数的图像都是处于x轴的上方直至正无穷大。

函数的一阶导数就是函数图像上某点的切线直线的斜率。令函数一阶导数等于0的方程，就是要求函数图像上哪些点的切线的斜率平行于x轴方向的问题，平行于x轴方向的切线斜率为0。因为4次方函数的一阶导数是一个3次方函数，又因为原函数图像是连续的处处可导的，它的一阶导数的3次方函数也是连续的处处可导的。令原函数的一阶导数等于0 的方程是一个3次方方程，它有且仅有3个根。原函数在与x轴相交的4点之间的三段图像中，每一段必然存在着图像的一个极值点，在该极值点的图像切线的斜率为0、切线平行于x轴。从而可得：
方程 f'(x)=0的3个实根分别在区间（1，2），（2，3），（3，4）上。

Answer 3

根据图像很快就可以得出来，图像先上升，后下降，所以只有一个解，这个解的区间在[1,2]上，

Answer 4

单调函数？没啥关系啊
既然导数=0，它不可能是单调的啊（除了x^3那种）。。。
三次函数基本上是S型曲线