Question

多元函数求最值

f(a,b,c)=1/根号(a+1) + 1/根号(b+1) +1/根号(c+1) ，abc=8，且a，b，c>0 。 求函数f(a,b,c)的最大、最小值。
。。。 原题 证明：1<f(a,b,c)<2

Answer 1

三个正数项的和，当且只当此三项相等时，和有最小值。∴a＝b＝c＝2，此时f有最小值√3.
三个正数项，当分母越小，分数值越大。
∴a→0,1／√﹙a＋1﹚→1,
b→0,1／√﹙b＋1﹚→1,
c→＋∞,1＋√﹙c＋1﹚→0,
∴f﹙a,b,c﹚→1+1+0=2.
∴此函数小于2，无最大值。

追问

其实题目是要证明 1<f(a,b,c)<2 。 为什么3项都相等时会取得最小值？

追答

有一个类似于“基本不等式”的公式。三个正数A,B,C,当且只当A=B=C时，A+B+C大于等于ABC 之积的立方根的三倍。

Answer 2

没有最大值，也没有最小值，1< f(a,b,c) <2.
取a=b=n, c=8/(n^2), 当n→+∞时，f(a,b,c)→1;
取a=8(n^2), b=c=1/n, 当n→+∞时, f(a,b,c)→2.

追问

这个不用求导吗？ 说说理由 原题是 证明：1<f(a,b,c)<2

追答

证明：不妨设a≥b≥c，则a≥2，bc≤4. 题目的关键在于证明
12, √(1+c) +1 >2, 所以(#1)式成立，所以(#)式的第一个不等号成立.
另一方面因为1/√(1+b) + 1/√(1+c) ≤ 2/√(1+√(bc))
等价于√(1+c)√(1+√(bc)) + √(1+b)√(1+√(bc)) ≤ 2√(1+b)√(1+c)
等价于√(1+b) [√(1+√(bc)) - √(1+c)] ≤ √(1+c) [√(1+b) -√(1+√(bc))]
等价于...(省略中间若干步推导)
等价于√(bc) -1 - √(1+√(bc)) * (√b +√c)/(√(b(1+c)) +√(c(1+b))) ≤0. (#2)
因为bc≤4, 则√(bc) -1≤1, 所以要(#2)式成立只要证
√(1+√(bc)) * (√b +√c)/(√(b(1+c)) +√(c(1+b))) ≥ 1 即可，
上式等价于√(b+b√(bc)) + √(c+c√(bc)) ≥√(b(1+c)) +√(c(1+b))
等价于√(b+b√(bc)) - √(b(1+c)) ≥√(c(1+b)) - √(c+c√(bc))
等价于b√c *(√b -√c)/[√(b+b√(bc)) + √(b(1+c))]
≥ c√b *(√b -√c)/[√(c(1+b)) + √(c+c√(bc))]
等价于√b /[√(b+b√(bc)) + √(b(1+c))] ≥√c /[√(c(1+b)) + √(c+c√(bc))]
等价于 1/ [√(1+√(bc)) + √(1+c))] ≥ 1/[√(1+b) + √(1+√(bc))].
因为b≥c, 所以上式显然成立。所以(#2)式成立，从而(#)式的第二个不等号也成立。

Answer 3

先求极值，用拉格郎日乘数法就行了

Answer 4

不好做