用数列极限的定义证明:对任意a>0,有lim(n→∞) a^(1/n) =1 ①0<a<1②a=1③a>1 15
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证：|a^(1/n) -1|<e (e为任意正整数）
当a>1,a^(1/n)>1,|a^(1/n) -1|<e可化为a^(1/n) -1<e,1/n<loga(e+1)
n>1/loga(e+1),N=[1/loga(e+1)],n>N时|a^(1/n) -1|<e,lim(n→∞) a^(1/n) =1([]为取正函数）
当0<a<1,a^(1/n)<1,|a^(1/n) -1|<e可化为a^(1/n) >1-e,1/n<loga(1-e)
n>1/loga(1-e),N=[1/loga(1-e)],n>N时|a^(1/n) -1|<e,lim(n→∞) a^(1/n) =1
当n=1,a^(1/n)=1
综上，lim(n→∞) a^(1/n) =1
当a>1,a^(1/n)>1,|a^(1/n) -1|<e可化为a^(1/n) -1<e,1/n<loga(e+1)
n>1/loga(e+1),N=[1/loga(e+1)],n>N时|a^(1/n) -1|<e,lim(n→∞) a^(1/n) =1([]为取正函数）
当0<a<1,a^(1/n)<1,|a^(1/n) -1|<e可化为a^(1/n) >1-e,1/n<loga(1-e)
n>1/loga(1-e),N=[1/loga(1-e)],n>N时|a^(1/n) -1|<e,lim(n→∞) a^(1/n) =1
当n=1,a^(1/n)=1
综上，lim(n→∞) a^(1/n) =1
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