Question

已知数列An前n项和Sn, a1=1, An>0, 1\A(n+1)=根号下[4+（1\An^2）],求证，1+Sn>1\2根号下[4n+1]

Answer 1

把1/a(n+1)=[4+(1/an^2)]^(1/2)两边平方，得，1/[a(n+1)]^2=4+(1/an^2)
推导可知1/[a(n+1)]^2=4n+1故an=[1/(4n-3)]^(1/2)
之后使用数学归纳法：
①当n=1时，有1+S1=2>5^(1/2)/2结论成立。
②假设当n=k时结论成立，当n=k+1时，有1+S(k+1)=1+S(k)+a(k+1)>(4k+1)^(1/2)/2+[1/(4k+1)]^(1/2)
现欲证明(4k+1)^(1/2)/2+[1/(4k+1)]^(1/2)>(4k+5)^(1/2)/2
由于两边都是正数，两边平方，得(4k+1)/4+1/(4k+1)+1>(4k+5)/4，由于1/(4k+1)>0。故不等式恒成立。所以1+S(k+1)=1+S(k)+a(k+1)>(4k+1)^(1/2)/2+[1/(4k+1)]^(1/2)>[4(k+1)+1]^(1/2)/2
故当n=k时成立，可推出n=k+1时成立。
③由①②可知，当n=k，k∈N*时，恒有1+Sn>(4n+1)^(1/2)/2成立。