Question

关于f（x）n阶可导的两个问题

f（x）n阶可导是指它的n阶导数为一个不为0的常数，还是为0？
f（x）有n阶连续的导数，能不能推出它有n+1阶导数，把它写成泰勒公式能写成n阶泰勒公式还是n+1阶泰勒公式？

Answer 1

n阶可导，就是指它的n阶导数在定义域内处处存在。至于等于多少并没有限制。如函数f(x) = x ^ 2.你的一阶导数在x = 0时为0，其他点不为0.

有n阶连续的导数并不能推出它有n+1阶导数，这和连续不一定可导是一样的道理。例如函数
定义在[0,2]上的函数f(x)满足
f(x) = x ^ 2, 0<=x<=1
f(x) = 4 * x - x ^ 2, 1 < x <= 2
则容易验证它一阶导数在[0,2]内均存在而且连续。但是二阶导数在点x = 1处不存在。
有n阶连续的导数其实只能写成n-1阶泰勒公式（余项是n阶的）。书上泰勒公式条件都是要有n+1阶导数（其中第n+1阶导数没有要求连续，前面n阶导数连续可以由n+1阶导数存在推出）。自己好好看书吧。

追问

我的意思是：比如f(x) = x ^ 2，它的二阶导数是2，三阶导数是0，那么我们说这个函数几阶可导？它又有几阶连续的导数？
另外，如果题设条件说在x=0的某邻域内二阶可导，是不是意思就是说它在这个范围内有二阶连续的导数，从而可以写成二阶公式？不胜感激！！

追答

对于 f(x) = x ^ 2 肯定是无穷阶可导的，导函数都连续，超过三阶导数都在定义域上为0。它的泰勒展开到2阶或者更高价都是 x^2，余项为0而已。幂级数展开也就是它本身。
另外，可导导函数不一定连续，但是泰勒展开除了写成积分余项（估计你没学）外，都不要求导函数连续。在x=0的领域二阶可导，可以写成1阶泰勒展开（注意泰勒公式的条件要求有n+1阶导函数，但拉格朗日余项，或者佩亚诺余项都没有说要导函数连续）
可导但是导函数不连续例子：
f(x) = x^2 * sin(1/x),且补充定义f(0) = 0.
则在x=0的领域一阶可导，但是可以验证它的导函数在x=0处不连续。
如果令f(x) = x^3 * sin(1/x),且补充定义f(0) = 0.
则在x=0的领域二阶可导，但是可以验证它的二阶导函数在x=0处不连续。
（第二个例子验证麻烦点，第一个例子你理解就可以了）
更进一步数学分析中有达布定理，说的是如果一个函数在[a,b]上可导，那么导函数不可能存在第一类间断点（就是说在[a,b]处处可导的前提下，导函数如果不连续，只能有第二类间断点）。

追问

题设条件说在x=0的某邻域内二阶可导，能不能写成f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!*x^2+ o(x^2) ？同济五版高数中关于裴亚罗余项有个小注解，说要写成这样要求有二阶连续的导数，所以这么写不对吧？应该只能写到x而写不到x的平方，是吗？不胜感激！！

追答

刚才证了下确实可以。
只要证明 [f(x) - f(0) - f'(0)x - f''(0)/2!*x^2]/x^2 当x趋于0时，极限是0即可
用一次洛必达法则得 1/2 * [ f'(x) - f'(0) - f''(0)*x] / x
这个极限等于 1/2 * { lim [ f'(x) - f'(0) ] / x - f''(0) } = 1/2 * [ f''(0) - f''(0) ] = 0.
如果有连续的条件就可以用两次洛必达法则，直接求极限就好。
对于n阶可导的情况也是一样。但是注意这个只适用于佩亚诺余项。
之前我也不知道可以，刚才证明了才知道。应该不会考这么细吧，不过知道总还是好的。

追问

知道了，你是大学老师吗？