Question

一道诡异的数学题

有人认为0.999999......等于1的吗？
可是0.999999......等于0.333333......×3 对吗？
0.333333......又等于1/3 对吗？
可是1/3×3等于1
这么说0.999999......不就等于1了吗？
这是怎么一回事了呢？

Answer 1

正好我看数学分析讲到了这个问题。
其实，1=0.999……表面看似乎矛盾，其实不然。人们通常认为1是整数，而0.999……为小于1的无限循环分数，两者怎么会相等呢。我写几个式子出来：
0.9<1≤1.0
0.99<1≤0.10
0.999<1≤0.100
………………
这样不断写下去，那么1可以表示成0.999……
但是，1也可以这么写：
1.0≤1<1.1
1.00≤1<1.01
1.000≤1<1.001
………………
这样不断写下去，那么1可以表示成1.000……
其实,任何一个有限十进制数都可以用两种方法表示,即0循环和9循环形式。举例如下，2.718=2.718000……=2.717999……。问题的根源在于有限十进制数a一定可以找到这样的数C.C1C2C3……CN≤a≤C.C1C2C3……CN+10^(-n),其中C、C1、C2……都是0到9的整数,a与该区间的左端点或者右端点重合，并且后面都是在左面或者右面一直取等号（参见上面1的写法),相应地，有限十进制数a有0循环和9循环两种表示方法。由于0循环可以省略不写，所以1=0.999……可以看做是
1.000……=0.999……（两边都是循环的形式），这是恒等式。
有兴趣的话可以看看数学分析关于实数的相关章节。其实，根据补助定理2（夹逼定理），因为0.999……≤0.999……≤1.000……，
0.999……≤1≤1.000……，而且两端之差1-0.999……=0.000……1=10^(-n)可以小于任何正有理数e,只要取n>lg(1/e)即可，那么1=0.999……必成立。
不知道楼主明白否？这个问题要深入研究的话还要花些工夫的哦。
另外，还有几种方法：
1、极限法，利用等比数列的和公式。0.999……=0.9+0.09+0.009+……=9（0.1+0.01+……）=9*0.1/(1-0.1)=1
2、自乘法，设设x=0.999……
10x=9+x
x=1
即
1=0.999……

Answer 2

证明如下:
假设A=0.99999...无限循环
那么: 9*A = 10*A - A = 9.9999..-0.9999... =9
9A=9,当然A=1

所以任何一个如0.111....,0.333...这样循环的小数都可表示成1/9，3/9，所以将0.99...可以表示为1.

关于实数完备性质的疑问(非理科专业勿看,免得伤心.)
数学上，实数直观地定义为和数线上的点一一对应的数。也就是说每一个实数都可以在实数轴上找到一一对应的点。每个点也有与之对应的实数存在。实数的完备性等价与欧几里德几何的直线没有空隙的定义。
第一次数学危机，以毕达哥拉斯古希腊数学家发现了无理数的重要性；第二次数学危机，牛顿发明微积分，1666年他的《流数简论》标志微积分诞生；第三次数学危机，我们又发现了级数问题。

在级数问题中，古希腊一位名叫Zeno的学者提出过一个有趣的悖论，其中著名的“Achilles（希腊传说中的英雄）追赶乌龟”问题，大概说乌龟在Achilles前面S1米处向前爬，Achilles在后面追，当Achilles花了t1时间追到S1处时，乌龟又前行到了S2处；当Achilles花t2时间追到S2处是，乌龟又前行到了S3处。这样下去，Achilles永远追不上乌龟。显然，这一结论完全有悖于常识，是绝对的荒谬的。但这个悖论，却为级数发展提供了思想。根据这个问题，我也想到了一些关于极限的问题。
现在，我们在实数范围内讨论几个有理数，当然，我前提定义这所有讨论都在不考虑极限问题前提下。也就是说，不用级数问题来考虑，只纯粹讨论实数的完备性。
我们知道，1÷3=0.333333...的，也就是说，1/3和0.333333...是相等的，那么他们在实数轴上对应了一个相同的点。
1/3+1/3+1/3=1
0.333333...+0.333333...+0.333333...=0.333333...×3=0.999999...
根据等式传递性，1=0.999999...的。而在级数问题中，我们用极限来解决此类问题，1的确是等于0.999999...。但是，我说了，我们不考虑极限问题，在实数轴上，明显0.999999...和1对应的不是同一个点。好比说一个集合S={A|0<A<1,A∈R}，0.999999...∈S，但是1却不是S的元素，1仅仅是S的上确界而已。也就是说0.999999...≠1，这样，便产生了矛盾。

Answer 3

哈哈
这道题我在杂志上看过哦
其实这道题的正确答案不唯一的
你可以说0.999……=1
也可以说不等于
所以你在做这到判断题的时候不要直接说它是错的哦
这个也告诉我们

事物的正确答案不止一个

Answer 4

反证法：
假设a = 0.999999... < 1,
而a既然小于1,
则a不论有多少位小数，它一定小于0.999999... ，
这与a <= 0.999999... 矛盾。
故0.999999... = 1.

呵呵

Answer 5

极限问题，只是无限接近