Question

函数f(x)=x^2+ax+b 若对任何的实数x，都有f（x)≥2x+a，求b的取值范围。（2）当x∈[-1,1],f(x)最大值M

最后求证：M≥b+1

Answer 1

1. x^2+ax+b≥2x+a
x²+(a-2)x+(b-a)≥0恒成立
则△=(a-2)²-4(b-a)≤0
即b≥a²/4+1≥1
所以b的取值范围[1,+∞)
2. f(x)=x²+ax+b
开口向上，对称轴x=-a/2
(1) a≤0时
M=f(-1)=-a+b+1≥b+1
(2) a≥0时
M=f(1)=a+b+1≥b+1
得证
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Answer 2

（1）由题意有对任何的实数x，都有f（x)≥2x+a，即f（x)-2x≥+a，另y=f(x)-2x=x^2+(a-2)x+b的最小值大于等于a，由二次函数的性质得y的最小值为：(4b-(a-2)^2)/4
即b-(a-2)^2/4≥a，化简为：b≥a^2/4+1，故b≥1
（2）函数f(x)的对称轴为x=-a/2，
故当a>=0时，-a/2<=0，f(x)的最大值M=f(1)=1+a+b>=1+b (a>=0)
当a<0时，-a/2>0，f(x)的最大值M=f(-1)=1-a+b>1+b (a<0)
综上：M≥b+1

Answer 3

x^2+ax+b≥2x+a x²+(a-2)x+(b-a)>=0 △=(a-2)²-4(b-a)<=0
极值 (a-2)²/4-b+a>=0 (a-2)²<=4b-4a<=(a-2)² 4b-4a=(a-2)²
b=a²/4+1>=1

追问

函数f(x)=x^2+ax+b （1）若对任何的实数x，都有f（x)≥2x+a，求b的取值范围。（2）当x∈[-1,1],f(x)最大值M，求证：M≥b+1
第二小题怎么做？

追答

若-a/2=(-1+1)/2=0 M=f(-1)=-a+1+b