Question

一道解析几何题，为什么我用直角坐标方程做就做得出，用参数方程就算错？谁帮我找原因？

题目：参数方程C1：x=2cosθ,y=2+sinθ,(θ为参数）和参数方程C2：x=4cosθ,y=4+sinθ,(θ为参数)。C1与射线α=π/3异于极点交于点A，C2与射线异于极点交于点B，求|AB|的距离。
题目是这样额，我把参数方程化成直角坐标的再求就做得出，答案为2√3。但是我直接把线α=π/3代入两参数方程求交点，再求|AB|为什么就算不出答案？我好郁闷，谁帮我分析下？！谢谢。
我打错了！应该是参数方程C1：x=2cosθ,y=2+2sinθ,(θ为参数）和参数方程C2：x=4cosθ,y=4+4sinθ,(θ为参数)。

Answer 1

α=π/3是不能直接作为两参数方程中的θ值，这是一个概念问题。
在求A点坐标时，应该是(2+sinθ)/2cosθ=tanα=3^(1/2)，求得θ后，再求x，y。
同样，求B点坐标时,应该是(4+sinθ)/4cosθ=tanα=3^(1/2)，求得θ后，再求x，y。

追问

额？为什么是这样呢？我画了下图，就是2个圆与射线α=π/3交于2点啊，极坐标中的角度都是π/3啊？代入参数方程去为什么不行？

追答

错误一：参数方程C1：x=2cosθ,y=2+sinθ和参数方程C2：x=4cosθ,y=4+sinθ图像应该是两个椭圆；
错误二：此二图像与射线α=π/3交于2点，极坐标中的角度都是π/3是对的，这就意味着y/x=tanπ/3，
但并不是说θ=π/3，带入参数方程C1和C2：y/x=tanπ/3均不成立。

追问

不好意思，我打错了，应该是参数方程C1：x=2cosθ,y=2+2sinθ,(θ为参数）和参数方程C2：x=4cosθ,y=4+4sinθ,(θ为参数)，是个圆。那个错误二能更详细的说明下吗？我们老师不推荐我们用参数方程做，所以这样的解法我们没学，但我想了解下。

追答

角度θ仅是一个参数，因为tanθ=(2+2sinθ)/2cosθ与tanθ=(4+4sinθ)/4cosθ都不能恒成立，所以在极坐标中θ并不是极角，而α=π/3才是极角。
tanα=(2+2sinθ)/2cosθ，2*3^(1/2)cosθ-2sinθ=2,3^(1/2)/2*cosθ-1/2*sinθ=1/2,sin(π/3-θ)=sin(π/6),
θ=π/6+2kπ或θ=-π/2+2kπ.x=3^(1/2),y=3或x=0,y=0（应舍去），所以A(3^(1/2),3);
tanα=(4+4sinθ)/4cosθ,4*3^(1/2)cosθ-4sinθ=4,3^(1/2)/2*cosθ-1/2*sinθ=1/2,sin(π/3-θ)=sin(π/6),
θ=π/6+2kπ或θ=-π/2+2kπ.x=2*3^(1/2),y=6或x=0,y=0（应舍去），所以B(2*3^(1/2),6);
|AB|={[2*3^(1/2)-3^(1/2)]^2+(6-3)^2}^(1/2)=12^(1/2)=2*3^(1/2).

Answer 2

是不是把 θ=π/3 代入了？那肯定不行啊，当 θ=π/3 时，那个点不过 α=π/3 啊。要是圆就对了。再想想？

追问

参数方程是圆啊。

追答

我没说清楚……圆心在原点的圆。而且 C2 是个椭圆啊。

Answer 3

because…………吾野不鸡刀

Answer 4

啊 晕了