Question

已知函数f(x )=4^x+mX2·x+1 仅有一个零点 求m的取值范围和零点

Answer 1

题意是方程4^x+m×2^x+1=0仅有一个根
令2^x=t 易知t>0
问题转化为方程t²+mt+1=0仅有一个正根
有如下三种可能：
(1)两个相等正根
△=m²-4=0得m=2或-2
m=2时，t=-1应舍去
m=-2时，t=1适合题意
(2)一个正根，一个零根
显然t=0方程不成立，故此情况不可能
(3)一个正根，一个负根
由于两根之积为1，故此情况也不可能
综上所述：m=-2

Answer 2

设2^x=t>0
则f(x)=t^2+mt+1=(t+m/2)^2+1-m^2/4
为开口向上的抛物线，对称轴t=-m/2>0
所以m<0
已知仅有一个零点，则抛物线与横轴相切
即顶点在横轴上
所以f(-m/2)=1-m^2/4=0
解得m=-2 (2舍去)
此时t=-m/2=1
则2^x=1=2^0
x=0
所以零点为(0, 0)
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