高数利用导数大于0 函数单增 证明当0＜x＜π/2时,2/π x＜sinx＜x 求具体推理过程 谢
高数利用导数大于0函数单增证明当0＜x＜π/2时,2/πx＜sinx＜x求具体推理过程谢谢...
高数利用导数大于0 函数单增 证明当0＜x＜π/2时,2/π x＜sinx＜x
求具体推理过程 谢谢 展开
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令f(x)=x-sinx 0<x<π/2
f'(x)=1-cosx>0 f(x)单调递增
∴f(x)>f(0)=0
∴x>sinx
再令g(x)=sinx-2x/π
g'(x)=cosx-2/π
驻点x₀=arccos(2/π)
g''(x)=-sinx<0
∴g(x₀)是极大值>0
g(0)=0,g(π/2)=1-1=0
∴g(x)∈(0,g(x₀))>0
∴sinx>2x/π
f'(x)=1-cosx>0 f(x)单调递增
∴f(x)>f(0)=0
∴x>sinx
再令g(x)=sinx-2x/π
g'(x)=cosx-2/π
驻点x₀=arccos(2/π)
g''(x)=-sinx<0
∴g(x₀)是极大值>0
g(0)=0,g(π/2)=1-1=0
∴g(x)∈(0,g(x₀))>0
∴sinx>2x/π
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