Question

已知函数f(x)=x^2+a|lnx-1|,g(x)=x|x-a|+2-2ln2,a＞0...

已知函数f(x)=x^2+a|lnx-1|,g(x)=x|x-a|+2-2ln2,a＞0.
(I)当a=1时，求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值；
(II)若f(x)≥(3/2)a,x∈[1,+∞)恒成立，求a的取值范围；
(III)对任意x1∈[1,+∞),总存在唯一的x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立，求a的取值范围.
PS：我算出来(I)是e^2,(II)是(0,2],(III)不会做，望高人指导，谢谢！

Answer 1

（1）f(x)=x^2+|lnx-1|，当x属于[1,e]，lnx∈[0,1]，所以f(x)=x^2+1-lnx，对f(x)求导，f'(x)=2x-1/x>0
最大值为f(e)=e^2
（2）x^2+a|lnx-1|>=(3/2)a
令h(x)=x^2+a|lnx-1|-(3/2)a
当x∈[1,e],h(x)=x^2-alnx+a-(3/2)a=x^2-alnx-(1/2)a，对f(x)求导，f'(x)=2x-a/x>0，h(1)>=0，得a<2
当x∈[e,+∞),h(x)=x^2+alnx-a-(3/2)a=x^2+alnx-(5/2)a，对f(x)求导，f'(x)=2x+a/x>0，h(1)>=0，得a>0
所以0<a<2
（3）g(x)为单调函数，且值域包括f(x)的值域
因为x2>2，所以a<=2，g(x)=x^2-ax+2-2ln2，g(x)在[2,+∞)上单调递增
所以f(1)=g(2)，得a=(5-2ln2)/3

Answer 2

前两就不多说了