Question

已知f(x)=6Inx和g(x)=ax^2+8x-b的图像在x=3处有公切线

1、求实数a的值.2、求F(x)=f(x)-g(x)的极大值和极小值.3、关于x的方程f(x)=g(x)有几个不同的实数解

Answer 1

f'=6/x g'=2ax+8
x=3时 f'=g' 6/x=2ax+8 2=6a+8 a=-1
f=g 6ln3=24-9-b=15-b b=15-6ln3

F(x)=6lnx+x^2-8x+b F'=6/x+2x-8=(1/x)[6+2(x^2)-8x]=(1/x)(2x-6)(x-1) x>0
F'=0的点x1=3,x2=1 因1/x>0 故(0,1) F'>0；(1,3) F'<0；(3,+无穷) F‘>0
极大值F(1)=1-8+15-6ln3=8-6ln3 极小值F(3)=0

lim(x->0)F(x)<0，F(1)>0，F'(X)>0[x属(0,1)]，所以在(0,1) F(x)有且仅有唯一解
F(1)>0，lim(x->+无穷)F(x)>0，F'(X)>0[x属(1,3)]，F'(X)>0[x>3]，则F(x)在(1,+无穷)极小值即最小值，又F(3)=0，所以在(1,+无穷)有且仅有唯一解
故f(x)=g(x)有两个不同的实数解