Question

已知函数f（x)=loga((x-2)/（x+2））的定义域为[m,n),值域为（Loga(a(n-1)),loga(a（m-1))]

1,求证m>2
2.若函数f(x)为[m,n)上的减函数，求a的取值范围。

Answer 1

【解】
(1)定义域为[m,n),所以m<n.
值域为（Loga(a(n-1)),loga(a（m-1))],所以Loga(a(n-1))<loga(a(m-1)),
m<n,则m-1<n-1, a(m-1) <a(n-1).
故可知0<a<1.

U=(x-2)/(x+2)= (x+2-4)/(x+2)
=1-4/(x+2),
函数u在(-2,+∞)和(-∞,-2)上单调递增，
因为0<a<1，故函数f(x)=loga((x-2)/(x+2)) 在(-2,+∞)和(-∞,-2)上单调递减。
所以f(m)= loga(a(m-1)), f(n)= loga(a(n-1)),
即loga((m-2)/m+2)) =loga(a(m-1)),
(m-2)/m+2)= a(m-1),
1-4/(m+2) = a(m-1), 因为a(m-1)是对数的真数，所以a(m-1)>0,m>1.
所以1-4/(m+2)>0, 0<4/(m+2)<1,
所以m+2>4, m>2.

(2)
由(1)知：n>m>2,
f(m)= loga(a(m-1)), f(n)= loga(a(n-1)),
即1-4/(m+2) = a(m-1), 1-4/(n+2) = a(n-1)
这说明方程1-4/(x+2) = a(x-1)有两个大于2的实数根m,n.
即a(x-1) (x+2) = x-2，ax^2+(a-1)x-2a+2=0,
设g(x)= ax^2+(a-1)x-2a+2,
所以应有：△=(a-1) ^2-4a(-2a+2)>0……①
对称轴x=-(a-1)/(2a)>2……②
g(2)= a*2^2+(a-1)*2-2a+2>0……③
联立①②③解得0<a<1/9.