Question

抛物线Y^2=4x的焦点弦的中点轨迹方程为______。

Answer 1

你好：设焦点弦为A(x1,y1)B(x2,y2)
由题知抛物线的焦点坐标为F（1，0）
若焦点弦有斜率，所以设焦点弦所在直线的方程为：
y=k(x-1)代入抛物线方程消去y得到：
k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
由韦达定理得到：x1+x2=(2k^2+4)/k^2
同理消去x得到：
y^2-(4/k)y-4=0
由韦达定理得到：y1+y2=4/k
设弦中点为M（X,Y）
那么，根据中点坐标公式得到：
X=(x1+x2)/2=(k^2+2)/k^2
Y=(y1+y2)/2=2/k
k=2/Y
消去k得到：y^2=2(x-1)
若AB无斜率，则AB垂直于X轴，已知AB横坐标为1
那么，根据此抛物线的关于X轴对称性可得，AB中点M（1,0）
把M的坐标代入y^2=2(x-1)
发现也满足，所以，M的轨迹方程为y^2=2(x-1)
回答完毕，谢谢！