Question

已知数列{an}的前n项和为Sn=n^2+1,数列{bn}满足：bn=2/(an+1),且前n项和为Tn,设Cn=T(2n+1)-Tn.

若对n>=k时，总有Cn<16/21成立，求自然数k的最小值。
(2n+1)是下标。

Answer 1

Sn=n^2+1
Sn-1=(n-1)^2+1
∴an=2n-1
bn=2/(2n-1+1)=1/n
Cn=bn+1+...+b2n+1=1/(n+1)+1/(n+2)..+1/(2n+1)
Cn+1=1/(n+2)+...+1/(2n+1)+1/(2n+2)+1/(2n+3)
Cn-Cn+1=1/(n+1)-1/(2n+2)-1/(2n+3)=1/(2n+2)-1/(2n+2)+1/(2n+2)-1/(2n+3)=1/(2n+2)(2n+3)>0
∴Cn为递减函数
C2=38/60>16/21>C3=319/420
∴k=3

Answer 2

解：（1）a1=2，an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2）．
∴bn= 1 n (n≥2) 2 3 (n=1) （2）∵cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1
=1 n+1 +1 n+2 +…+1 2n+1 ，
∴cn+1-cn=1 2n+2 +1 2n+3 -1 n+1 ＜0，

Answer 3

嗯