Question

若函数y=lg（3-4x+x^2)的定义域为m若x ∈M 时， 求函数f(x)=2^（x +2）-3×4^x 的最值及相应的x的值

Answer 1

由题知，
函数y=lg(3-4x+x²)的定义域为M
因为
3-4x+x²>0
所以，
(x-1)(x-3)>0
得到
x∈(-∞,1)∪(3,+∞)
即M=(-∞,1)∪(3,+∞)

当x∈M时，
2^x∈(0,2)∪(8,+∞)
令t=2^x,则t∈(0,2)∪(8,+∞)
所以，
f(x)=2^x+2-3*4^x
=t+2-3*t²
对称轴为t=1/6
1/6∈(0,2)∪(8,+∞)，可以取到，
所以，
f(x)最大值在t=1/6时取到，为25/12

[画图可得f(x)∈(-∞,-182)∪(-8,25/12)]

希望采纳~~~

Answer 2

用 x^2 表示 x 的平方。
因为 3-4x+x^2 作为真数，所以 3-4x+x^2>0，即 (x-1)(x-3)>0，由此得到 x>3 或者 x<1，这就是函数的定义域，即 M={x|x<1 或者 x>3}.

f(x)
=2^(x+2)-3*4^x
=4*2^x-3*4^x (令 y=2^x，则 4^x=y^2)
=4y-3y^2
=-3(y-2/3)^2+4/3
因为 y=2^x，而 x>3 或者 x<1，所以 y>8 或者 0<y<1. 因此上述关于y的函数有最大值，且最大值当 y=2/3，即 2^x=2/3，x=log2(3)时取到。显然函数没有最小值。
综上，函数有最大值 4/3，此时 x=log2(3).