Question

高等数学同济第五版总习题十第二题，我主要问选项C为什么成立，不用告诉我ABD不成立的原因

原题是这样的：高等数学同济第五版总习题十第二题，设曲面∑是上半球面：x²＋y²＋z²=R²(z≥0)， 曲面∑1是曲面∑在第一卦限中的部分，为什么（公式我用编辑器打的，见图片）

Answer 1

因为上半球关于xoz面和yoz面对称，使用两次对称性就得到左式等于4倍的第一卦限部分的积分。至于被积函数改为了x是因为在第一卦限，xyz满足轮换对称性
这个积分是曲面积分，不是计算的体积

追问

那么第一类曲面积分满足轮换对称性的充要条件是什么呢？

Answer 2

这是一个有关体积计算的问题，左边不难理解，是上半球的体积；而后半部分的4也不难理解吧，因为上半球由4个卦限组成，上半球的X有正负之分，但此题限定在第一卦限，为此就不需要家负号了。后面是在随着X的面积积分，也就是体积了。

追问

左边是上半球的体积？不是吧，数值上等于πR³吧

Answer 3

查资料关于曲面积分对称性问题，一般都有这题

Answer 4

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