Question

设函数f(x)=e^x-1-x-ax^2 若当x>=0时，f(x)>=0，求a的取值范围

我做的过程是
令f(x)=0,得到e^x-1=ax^2+x
设g(x)=e^x-1,h(x)=ax^2+x
令h(x)=0,
当a=0时，g(x)≥h(x)
当x≠0时，x1=0,x2=-1/a，画图像
当a＞0时，x在[0,+∞) 上，g(x)≤h(x)
当a＜0时，g‘(0)和h’(0)=1，∴ g(x)≥h(x)
综上，a∈（-∞,0]

各位高手，能指点一下我哪出问题了么，谢谢~
令f(x)=0,得到e^x-1=ax^2+x
修改为
令f(x)≥0,得到e^x-1≥ax^2+x

Answer 1

你这一结果是假设f（x）=0的条件下推出的，那f（x）=其它值时的情况又是怎样呢？你的问题就出在这里，不能由小推大啊！

追问

修改如题

追答

你的这一步推导，当a＞0时，x在[0,+∞) 上，g(x)≤h(x)不能直接得出。由于a＞0时，h(x)和g(x)在x∈[0,+∞) 上时为增函数，所以需要比较h(x)和g(x)之间斜率的大小关系，才能判断h(x)和g(x)的大小关系。
根据你的做法，令g(x)=e^x-1,h(x)=ax^2+x，g‘(x)=e^x,h’(x)=2ax+1，g‘‘(x)=e^x,h’’(x)=2a
由于g(0)=h(0)=0，g‘(0)=h’(0)=1，g‘‘(0)=1,h’’(0)=2a；
1.当a＜0时，h’‘(x)＜0，h'(x)为减函数，所以在x∈[0,+∞) 上，g’(x)≥h'(x)(只有在x=0时它们的值相等)，通过观察函数，可知，h(x)的值是先增大后减小，由于h(x)在增大时，其斜率均小于g(x)的斜率，说明h(x)增大的幅度没有g(x)快，从而可以说明h(x)的值均小于g(x)。
2.当a≥0时，在x∈[0,+∞)上，g‘‘(x)＞0,h’’(x)＞0，且g‘(x)＞0,h’(x)＞0，说明g(x),h(x)均为增函数，且g‘(x),h’(x)也为增函数。由于g(0)=h(0)=0，要使g(x)＞h(x),必须使g‘(x)＞h’(x),进而要使g‘‘(x)≥h’’(x),即e^x≥2a，由于e^x在x∈[0,+∞) 上的最小值为1，所以2a≤1，所以0≤a≤1/2
综上可知a≤1/2

Answer 2

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