Question

已知数列{an}的前n项的和为Sn,且a1=1,na(n+1)=(n+2)Sn,n属于N*.求证数列{Sn/n}为等比数列

数列{an}的通项公式及前n项和Sn
若数列{bn}满足：b1=1/2，b(n+1)/(n+1)=(bn+Sn)/n(n属于N*），求数列{bn}的通项公式

Answer 1

1. na(n+1)=n[S(n+1)-Sn]=(n+2)Sn
nS(n+1)=2(n+1)Sn
S(n+1)/(n+1)=2*Sn/n
所以{Sn/n}是公比为2的等比数列
2. S1/1=a1=1
所以Sn/n=2^(n-1)
Sn=n*2^(n-1)
所以na(n+1)=(n+2)*n*2^(n-1)
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1)
an=(n+1)*2^(n-2)
3. b(n+1)/(n+1)=[bn+n*2^(n-1)]/n
所以
b(n+1)/(n+1)-bn/n=2^(n-1)
bn/n-b(n-1)/(n-1)=2^(n-2)
....
b2/2-b1=2^0=1
叠加 b(n+1)/(n+1)-b1=1+2+2^2+...+2^(n-1)=2^n-1
b(n+1)=(n+1)(2^n-1)
故bn=n*2^(n-1)-n
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

Answer 2

1. na(n+1)=n[S(n+1)-Sn]=(n+2)Sn
nS(n+1)=2(n+1)Sn
S(n+1)/(n+1)=2*Sn/n
所以{Sn/n}是公比为2的等比数列
2. S1/1=a1=1
所以Sn/n=2^(n-1)
Sn=n*2^(n-1)
所以na(n+1)=(n+2)*n*2^(n-1)
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1)
an=(n+1)*2^(n-2)
3. b(n+1)/(n+1)=[bn+n*2^(n-1)]/n
所以
b(n+1)/(n+1)-bn/n=2^(n-1)
bn/n-b(n-1)/(n-1)=2^(n-2)
....
b2/2-b1=2^0=1
叠加 b(n+1)/(n+1)-b1=1+2+2^2+...+2^(n-1)=2^n-1
b(n+1)=(n+1)(2^n-1)
故bn=n*2^(n-1)-n

Answer 3

na(n+1)=n[s(n+1)-s(n)]=(n+2)s(n),
ns(n+1)=2(n+1)s(n),
s(n+1)/(n+1)=2s(n)/n,
s(n+1)/[(n+1)2^(n+1)] = s(n)/[n*2^n] = ... = s(1)/[1*2] = a(1)/2 = 1/2.
s(n)=(1/2)n2^n=n*2^(n-1).
s(n)/n = 2^(n-1)
{s(n)/n}是首项为1, 公比为2的等比数列.
na(n+1)=(n+2)s(n)=(n+2)*n*2^(n-1),
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1),
a(n)=(n+1)2^(n-2).
b(n+1)/(n+1)=[b(n)+s(n)]/n=b(n)/n + 2^(n-1),
c(n)=b(n)/n,
c(n+1)=c(n)+2^(n-1),
c(n+1)/2^n = (1/2)c(n)/2^(n-1) + (1/2),
c(n+1)/2^n - 1 = (1/2)c(n)/2^(n-1) - 1/2 = (1/2)[c(n)/2^(n-1) - 1]
{c(n)/2^(n-1) - 1}是首项为c(1)-1=b(1)-1=-1/2,公比为（1/2）的等比数列。
c(n)/2^(n-1) - 1 = (-1/2)(1/2)^(n-1) = -1/2^n,
c(n) = 2^(n-1) - 1/2 = b(n)/n,
b(n) = n[2^(n-1) - 1/2]